三步五阶迭代方法解非线性方程组

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1、2 0 1 3年 8月 Aug ，2 0 1 3 计 算 数 学 M ATHEM ATI CA NUM ERI CA SI NI CA 第 3 5卷第 3期 Vo 1 3 5， No 3 三步五阶迭代方法解非线性方程组q ) 张 旭 檀结庆 ( 合肥工业大学数学学院， 合肥 2 3 0 0 0 9 ) 摘 要 本文根据求积公式， 给出了三种求解非线性方程组的迭代方法， 并证明了所提出的三步迭代 方法具有五阶收敛性 最后给出了四个数值实例， 将本文的实验结果与现有的几种迭代方法的实 验结果作了比较分析， 表明本文所提出的方法具有明显的优越性 关键词： 非线陛方程组； 求积公式； 牛顿迭代； Ne

2、 wt o n C o t e s 公式； 收敛阶 MR ( 2 0 0 0 ) 主题分类： 6 5 H1 0 1 引 言 考虑非线性方程组 F ( x ) =0 ( 1 1 ) 其中 F ( x ) = ( f l ( ) ， ， 2 ( ) ， ， A( ) ) T ， = ( ( ， ( 。 ) ， 一， ( ) ) T且 ( = 1 ， 2 ， - ， n ) 是 R “ _ R 的非线性函数 二阶收敛 的 Ne w t o n迭代方法、三阶收敛 的 H a l l e y迭代方法和 C h e b y s h e v迭代方法是求解非线性方程组的经典方法 近年来， 又涌现 出很多新的求

3、解非线性 方程组的方法 例如， J R S h a r m a等 提出了具有四阶收敛的两步加权牛顿迭代方法； A Go l b a b a i I 。 】 提出了快速收敛 的同伦摄动法； M T D a r v i s h i 等 0 】 和 D K R B a b a j e e 等 】 基 于 A d o mi a n分解法分别给出了具有三阶收敛和四阶收敛的迭代方法； M Q Kh i r a l l a h等 【 基于四点 N e w t o n - C o t e s 求积公式提 出了具有三阶收敛 的迭代方法； M A H a fi z等 】 和 A C o r d e r o等 7

4、基于复化 S i mp s o n求积公式分别得到了不同的具有三阶收敛的迭代方法； M As l a m No o r 等 I s 】 和代璐璐等 _ 9 基于闭开、开闭求积公式分别提出了具有三阶收敛和四阶收 敛的迭代方法等 本文根据不 同的求积公式和一种改进 的牛顿迭代法， 提 出了三种新的具有五阶收敛性 的 迭代方法 数值实验表明， 与 N e w t o n公式以及文献 5 , 8 ， 1 4 】 提出的迭代方法相比较， 本文提 出的迭代方法具有明显的优势 2 迭代方法 设函数 F ( x ) ： D R ” R 在凸集 D R 上 r 阶可微， 并且 O L 为非线性方程组的一 个实数

5、根 对函数 F ( x ) 在 ( ) 处进行 T a y l o r 展开 1 0 得： F ) = F ( ( ) + F ( ( ) (x - x (k ) + 去 F ( ( )(z ( ) + - + 1 F (r一 1) (k ) (x - x (k) 1 + o F ， ， + t( ，)(x - x (k) (2 ) 2 0 1 2年 1 2月 2 5日收到 ) 基金项 目： 国家 自然科学基金 一 广东联合基金重点项 目( Ul 1 3 5 0 0 3 ) 和国家 自然科学基金项目( 6 1 0 7 0 2 2 7 ) 2 9 8 计 算 数 学 2 0 1 3芷 当 r=1

6、时， 可得 1 ， ( ) = F ( z ( ) + F ( ( ) + t ( ( ) ) ( ( ) U 利用左矩形求积公式可得 ，1 F ( ( ) + t ( ( ) ) ( ( ) d t F ( ( ) ( ( ) J U 将 ( 2 3 ) 式代入 ( 2 2 ) 式， 同时令 F( ) =0 ， 则 F ( ( ) ) ( ( ) ) 一 F ( ( ) ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 即口 得至 U 迭代格式： 【 ) = ) 一F x ) F ( ( ) ) ， 这就是著名的N e w t o n公式 对于 ( 2 2 ) 式中的积分部分， 若利用不同的数值积分公式则

7、可以得到不同的迭代方法 5 - 9 1 M P o d i s u k等 【 1 1 提出了两种两点 N e w t o n C o t e s 公式， 也就是闭 一 开求积公式和开 闭 求积公式， 即 州 ， (卅3 ， ( 半 )】j 丁b -a ( M( 6 ) M A s la m N o o r 等 首先分别利用上面的两种求积公式来近似 ( 2 2 ) 式中的积分部分， 得到： F ( ) + t ( ) ) ) (x - x (k ) 出 【 F ( ) + F ( 坐 ) (x - x (k ) )J0 ，( 2 4 ) 4 4 i F ( ( ) + ( z ( ) ) ) (

8、 x-x ( k ) ) d t F ( 兰 _ ) + F ( ) ( ( ) )( 2 5 ) 士 0 4 再利用 Ne wt o n公式作为新迭代方法的第一步， 并将其作为预测值， 于是得到相应的两种 改进的两步求解非线性方程组 ( 1 1 )的迭代方法 【8 】 二 1F 2， 6 【 校 正 ： ( + ) = z ( ) 一 ( ( ) + F ( )一 F ( ( ) 一 二 1 2， 7 【 校 正 ： ( + ) = (七) 一 F ( ) + F ( (七)】一 1F (七) 一 一 M P o d i s u k等 【 1 1 】 还给出四点 Ne w t o n C o

9、 t e s公式， M O Kh i r a l l a h等 【 5 】 利用此求积公 式来近似式 ( 2 2 ) ， 即 F ( ) +t ( 一 ( ) ) ) 一 ( ) 比 F ( ( ) + 百3 F ( ) + F ( 学) + 百1 F ( ) ( 一 ( ) ( 2 8 ) 同样利用 Ne w t o n公式作为新迭代方法的第一步， 并将其作为预测值， 则得到了另一种改 进的两步求解非线性方程组 ( 1 I ) 的迭代方法 5 j 即 f 预 测 ： ( ) = ( ) 一 F ( ) F ( ( ) 校正： ( 七 + ) = ( ) 一 F ( ( ) + F ( ) ，

10、 =0 ， 1 ， 2 ， ( 2 9 ) 【 + F ( ) + F ( ( ) 一 1 F ( ) 3期 张旭 等： 三步五阶迭代方法解非线性方程组 A C o r d e r o等 1 2 提出了一种改进的求解非线性方程组的两步 N e wt o n迭代方法： F 1 F ( ) ) 1 ( 2 _1 0 ) 1 ( ) ： ( ) 一 ( ( ) ) 一 z ( ) ) ， 其中y (k ) = ( ) F ( ( ) ) 一 F ( ( ) ) 是著名的二阶收敛的N e w t o n 迭代法， 若 ( ) =咖 ( ( ， ( ) 是 P阶收敛的， 则 ( 2 1 0 ) 式的两步

11、迭代方法就是 P+2阶收敛的 我们将 ( 2 6 ) 式， ( 2 7 ) 式， ( 2 9 ) 式分别代替 ( 2 1 0 ) 式中的 ( ) = ( ( ， ( ) ) ， 于是得到相 应的三种新的求解非线性方程组的迭代方法， 即： 方法 一 f预测一： ( ) = ( ) 一 F ( ( ) ) 一 F ( ( ) ) 预 测 二 ： z ( ) = (南 ) 一 F ( ( ) + F ( ) 【校正： ( + ) =z ( ) 一 F ( ( ) 一 F ( ( 七 ) ) 方法二 f预 lJ -： ( ) ： ( ) 一F ( ) ) 一 F ( ( ) ) 预 测 二 ： z (

12、 ) = ( ) 一 【 3 F ( ) + F l( ( ) 【校正： ( + ) ：z ( ) 一 F ( ( ) 一 F ( ( ) ) F( ( ) ) ， k=0 ， 1 ， 2 ， ( 2 1 1 ) F( ( ) ) ， =0 ， 1 ， 2 ， ( 2 1 2 ) f 预 测一 ： ( ) = ( ) 一 F ( ( ) 一 F ( ( ) ) 二 F I 1 + F ( ) + ( (南 ) 一 F ( (岛 ) 一 一 上 【校正： ( + ) =z ( ) 一 F ( ) 一 F ( z ( ) ) 3 收敛 阶的分析 在这一部分， 我们运用 T a y l o r公式来

13、分析方法一的收敛情况 定理 1 设 F ( x ) ： D R R 在凸集 D上 r 阶可微， 且非线性方程组 F( x ) =0 在凸 集 D 存在根 ， 则上面给出的三种迭代方法 ( 2 1 1 ) 式， ( 2 1 2 )式和 ( 2 1 3 ) 式都是五阶收敛的， 并且满足误差等式： e( + ) =2 C e ( ) +o ( 1l e ( ) 。 II) 其 中 1 e( )= ()一 ， = ( ) 一 F( ( ) ( r 2 ) 证明 先证 明方法一， 即 ( 2 1 1 ) 式具有五阶收敛的 分别对 F( ( ) ， F I ( ( ) ) ， F ， ( ( ) ， F

14、， ( ) 在点 处运用 T a y l o r 公式进行展开， F ( ( ) =F ( ) 【e ( ) +C 2 e ( ) 。 + e ( ) 。 +C 4 e ( ) +o ( 1le ( ) lI) ， ( 3 1 ) F ( z ( ) ) ：F ( ) +2 C 2 e ( ) +3 C 3 e ( ) +4 C 4 e ( ) 。 +o ( 1le ( ) l1) ， ( 3 2 ) F ( ( ) =F ( ) +2 C 2 ( y ( ) O t ) +3 C 3 ( y ( ) 一 ) 。 +o ( 1l( y ( ) 一 ) 。 l1) ( 3 3 ) 对 ( 3 2 )式求逆 【 1 3 得， F ( ( ) 一 =I 一2 C 2 e ( +( 4 一3 C 3 ) e ( ) 一( 8 一6 C 3 C 2 6 C 2 C 3 + 4 ) e ( ) 。 I F ( ) 一 +o ( 1le ( ) l1) ( 3 4 ) 计 算 数 学 2 0 1 3仨 由 ( 3 1 ) 式， ( 3 4 ) 式和 ( 2 1 1 ) 式的预测一