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1、53 镜像法镜像法依据：依据：唯一性定理唯一性定理基本思路：基本思路：在在所研究的场域外所研究的场域外的某些适当位置，用一些的某些适当位置，用一些虚拟电荷等效替代虚拟电荷等效替代导体分界面上的导体分界面上的感应电荷感应电荷或媒质分界面上的或媒质分界面上的极化电荷极化电荷的影响。 等效电荷一般位于原电荷关于边界面的镜像点处，故称为的影响。 等效电荷一般位于原电荷关于边界面的镜像点处，故称为镜像电荷镜像电荷。关键:关键:确定镜像电荷的个数、大小、符号和位置；确定镜像电荷的个数、大小、符号和位置；选择原则：选择原则：1）位于所求区域外；2）不能改变原问题的边界条件1）位于所求区域外；2）不能改变原问
2、题的边界条件适用范围：适用范围：主要用于一些平面、柱面或球面导体（或介质）边界附近存在点电荷、线电荷、线电流的场主要用于一些平面、柱面或球面导体（或介质）边界附近存在点电荷、线电荷、线电流的场53 镜像法镜像法1、对于平面的镜像、对于平面的镜像1）对于接地导体平面的镜像）对于接地导体平面的镜像? 距无限大接地导体平面附近距无限大接地导体平面附近d处有一点电荷处有一点电荷q求空间电位和导体平面上的感应电荷面密度求空间电位和导体平面上的感应电荷面密度xzq（0,0,d)xzq（0,0,d)-q（0,0,-d)?原问题：原问题：?等效问题：等效问题： 原电荷：原电荷：q，位于，位于(0,0,d) 镜
3、像电荷镜像电荷(等效电荷等效电荷)：q=-q，位于，位于(0,0,-d) 取消导体边界面，取消导体边界面，z0空间媒质充满整个空间。空间媒质充满整个空间。= =00002zz边界条件：）除点电荷处外，空气中（边界条件：）除点电荷处外，空气中（ =+= =+=210201011 44 4RRq Rq Rq P(x,y,z)R1R2 与原问题边界条件相同与原问题边界条件相同 仅在上半平面是等效的仅在上半平面是等效的()() ()()()()011 4,2222220 + += + +=z hzyxhzyxqzyx53 镜像法镜像法 1、对于平面的镜像、对于平面的镜像?原问题中无限大导体表面上的感应
4、电荷密度为：原问题中无限大导体表面上的感应电荷密度为：xzq（0,0,d)nnsED202 = = =000 = = = = = =zzn()()()()2/32222hzyxqh+= += = = Ssindsq ()() 22002/322qqdd hqh= += += = 即：感应电荷电量与所设镜像电荷电量相等即：感应电荷电量与所设镜像电荷电量相等。? 引申：上述点电荷对导体平面的镜像法，可扩展其应用范围引申：上述点电荷对导体平面的镜像法，可扩展其应用范围53 镜像法镜像法 1、对于平面的镜像、对于平面的镜像（1）根据迭加原理，在导体平面附近的）根据迭加原理，在导体平面附近的线电荷线电荷
5、也可用镜像法求解也可用镜像法求解xzhhl( , )P x zRvRvlxzhl导体 llzh= = 的平面为参考点以的平面为参考点以0= =z120201021ln2ln2ln2RR Rh Rhlll =+=+=+=+= 上半空间电位() ()() ()2222220ln4dzyxdzyxl +=+= xy（2）可解决点电荷或长直线对接地导体拐角问题）可解决点电荷或长直线对接地导体拐角问题53 镜像法镜像法 1、对于平面的镜像、对于平面的镜像? 两半无限大接地导体平面垂直相交。两半无限大接地导体平面垂直相交。qq? 两半无限大接地导体平面非垂直相交，两半无限大接地导体平面非垂直相交， 若夹角
6、若夹角 qq要满足在导体平面上电位为零，则必须 引入3个镜像电荷。如图所示。要满足在导体平面上电位为零，则必须 引入3个镜像电荷。如图所示。为整数为整数nn,= =也可用镜像法，需引入也可用镜像法，需引入2n-12n-1个镜像电荷个镜像电荷? 线电荷的情况类似线电荷的情况类似xy2）对于两种电介质平面界面的镜像）对于两种电介质平面界面的镜像53 镜像法镜像法 1、对于平面的镜像、对于平面的镜像xq（0,0,d)O1 2 zzxqO1 2 1 qP1xqO1 2 zP2qqqqqq2 +=+= +=+=21121111 41 4 40Rq Rq Rq Rqz3224 0Rqqz+= = =1 4
7、0( () )( () () ()=+=+02022222222dqdqadaqdaq由由53 镜像法镜像法 2、对于球面的镜像、对于球面的镜像( () ) , rPxr RROqdd q()()+ +=+ += cos/2/cos21 42242220dardardarddrq可以推得：电荷可以推得：电荷q在接地导体球面上产生的感应电荷在接地导体球面上产生的感应电荷 qqdaqin=即：即：感应电荷总量等于镜像电荷， 但小于点电荷感应电荷总量等于镜像电荷， 但小于点电荷q的大小的大小2）点电荷对不接地导体球的镜像）点电荷对不接地导体球的镜像53 镜像法镜像法 2、对于球面的镜像、对于球面的镜
8、像? 不接地：导体球面电位不为0不接地：导体球面电位不为0 ? 球面上存在正、负感应电荷球面上存在正、负感应电荷 （感应电荷总量为0）（感应电荷总量为0）利用电位叠加原理的方法处理：利用电位叠加原理的方法处理：处理过程处理过程 1.先假设导体球面接地1.先假设导体球面接地，则球面上存在电量为，则球面上存在电量为q的感应电 荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。的感应电 荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。 2. 断开接地。将电量为断开接地。将电量为q的电荷加到导体球面上的电荷加到导体球面上，这些电 荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。，这些电 荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。 3
9、. 均匀分布在导体球面上的电荷均匀分布在导体球面上的电荷-q可以用位于球心的等量点 电荷等效。可以用位于球心的等量点 电荷等效。( () ) , rPxr RO qd53 镜像法镜像法 2、对于球面的镜像、对于球面的镜像? 点电荷q对点电荷q对非接地导体球面非接地导体球面的镜像电荷有的镜像电荷有两个两个：镜像电荷 1：镜像电荷 1： dadqdaq2 =位置：电量：=位置：电量：镜像电荷 2：镜像电荷 2： 位于球心位置电量：位于球心位置电量：: qdaqq=dqq +=+=rq Rq Rq 41 球外空间电位球外空间电位R53 镜像法镜像法3、对于柱面的镜像、对于柱面的镜像 电轴法电轴法?
10、两根细导线产生的电位两根细导线产生的电位CP+=+=+=+=12021ln2 （以（以 y 轴为参考电位， 则轴为参考电位， 则C=0）22220120)()(ln2ln2ydxydx +=+= 2 2222)()(KydxydxCP=+=等位线方程令=+=等位线方程令 为一簇偏心圆整理得：为一簇偏心圆整理得：2 222 22 )12()11(=+=+KdKydKKxdKKhh110,22+=， 圆心坐标 圆半径 122=KdKa若在任一等位面上放一无厚度的金 属圆柱壳，是否会影响电场分布？若在任一等位面上放一无厚度的金 属圆柱壳，是否会影响电场分布？ 若在金属圆柱管内填充金属呢？若在金属圆柱
11、管内填充金属呢？思考两细导线的场图且a、h、d满足关系)(222dhdhdha+=+=53 镜像法镜像法 3、对于柱面的镜像、对于柱面的镜像? (h+d)为某等位圆圆心到一个线电荷的距 离；(h-d)为该圆心到另一线电荷的距离；(h+d)为某等位圆圆心到一个线电荷的距 离；(h-d)为该圆心到另一线电荷的距离；? 若将两根线电荷称为一对电轴，而任一等位圆 可看成是与若将两根线电荷称为一对电轴，而任一等位圆 可看成是与z轴平行的长直圆柱形导体的横截面；轴平行的长直圆柱形导体的横截面； ?故以上讨论的结果可用来求解平行双圆柱导体 系统的静电场问题，这种方法称为电轴法；故以上讨论的结果可用来求解平行
12、双圆柱导体 系统的静电场问题，这种方法称为电轴法； ? 由于两个电轴所在的点对任一等位圆互为反演 点，即互为镜像，因此电轴法也是镜像法由于两个电轴所在的点对任一等位圆互为反演 点，即互为镜像，因此电轴法也是镜像法aO153 镜像法镜像法 3、对于柱面的镜像、对于柱面的镜像1）线电荷与导体圆柱）线电荷与导体圆柱?设线电荷与半径为a的导体圆柱轴线平行且相距D (Da)? 将导体圆柱表面的分布电荷看成集中到电轴上， 成为一电荷密度为-的长直线电荷，导体圆柱面为等 位面? 问题转化为求两根长直线电荷的问题，关键确定dO -d+dh D222dahQdDh=又=又DaDd222=xy00处，若选处，若选 = =x() ()() ()222212ln4ln2ydxydx +=+= 则导体圆柱外则导体圆柱外P1 2 2）两个平行的导体圆柱）两个平行的导体圆柱53 镜像法镜像法 3、对于柱面的镜像、对于柱面的镜像? 两带电长直平行传输线的电场及电位分布。解: a)取圆柱坐标系,22ahd=确定电轴位置b)确定电位分布120ln2 = =p( 以y 轴为参考电位)
