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1、导数引入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这 一工具重新认识原中学数学课程中的有关问题并为其研究提供新的途径和方法，是当今中 学数学教学中的新课题之一。纵观各类刊物，对导数的研究多都停留在函数，解析几何等 内容上，而对其他方面关注甚少，本文从一个侧面，介绍导数在一类数列求和问题中的应 用，以开阔视野。例 1 求下列数列之和：1x （1）；21123nxxnxL（2）；22221123nxxn xL（3）.222222 234n nCC xC xC xL分析 （1）由，可设，则1()(1,2,)kkxkxknL21( )123nfxxxnx L，而上式两端求23
2、( )1nf xxxxx L1 2311(1)1n nxxxxxxxL导，并整理得1 21 21 (1)123(1)nn nnxxxxnxx L（2）比较（1） （2）两式中的通项可发现，只需对两端同乘以，再对求导便可得到xx21123nxxnxL2212231(1)(221) (1)nnnxnxnnxn x x（3）由可知只需对式两端继续求导便可得到2221 (1)1()22nnn nn nC xxnx2223 24 3(1)nxxn nx L2122132()2(1)() (1)nnnn xnnn x x222222 234n nCC xC xC xL2212231(1)(221) (1)
3、nnnxnxnnxn x x注 只要对上述三个求和式中的赋予具体值便可得到一系列数列求和公式。例如在（1）x中令，可得到。而此前我们只能用“错位2x 2112 23 222 (1) 1nnnn L相减法”解决. 例 2 求下列数列的和(1) ；12323n nnnnCCCnCL(2) ；12223223n nnnnCCCn CL(3) 2122232 234121111 222n nnnnnnC CC CC CCCL分析（）观察（）式中各项的组合数排序类似于二项展开式中各项的组合数排序，故可设0122(1)nnn nnnnxCC xC xC xL两端对求导，得1121(1)2nnn nnnnx
4、CC xnC x L令，得1x 1231232nn nnnnCCCnCnL由例中（）的解法可想到，只需在的两端同乘以，再求导便可得到21(1)(1)(1)nnn nxxnx1222322123nn nnnnCC xC xn C xL令，得1x 12223221 1232nn nnnnnCCCn CC L（）由例中（）的分析可想到只需在的两端同乘以，再求导便可得到2x221(1)(1)2 (1)nnn nxxnxx1223323 24 3(1)nn nnnnC xC xC xnnC x L令，得1 2x 123 2323 24 3(1) 2222n nnnnnnnCCCCL21133(1)22n
5、nnnn nn23(71)2nnnn 例题 求下列数列的和（）sin2sin23sin3sinxxxnnxL （）cos2cos23cos3cosxxxnnxL分析 （）由，可设(cos)sinnxnnx 则( )cos2cos23cos3cosf xxxxnnxL( )sin2sin23sin3sinfxxxxnnx L而2sin(cos2cos23cos3cos)2xxxxnnxL353(21)(21)sinsinsinsinsinsin222222xnxnxxxxL即，coscos2cos3cosxxxnxL(21)sinsin222sin2nxxx 两端对求导并整理得sin2sin23
6、sin3sinxxxnnxL2(1)sinsin(1)4sin2nnxnnx x同理可得cos2cos23cos3cosxxxnnxL2(1)coscos(1)14sin2nnxnnx x利用导数求数列的和，关键在于抓住和式的结构特征，联想求导公式构造相关的函数式， 通过对函数式的不同表达形式的求导，来达到问题的解决，体现出用导数法解决有关初等 数学的优越性例 4：数列中， na10a 11 2n naa（1）求数列的通项公式； na（2）数列前的和记为，证明。nnsln(1)nsnn解：（1）由条件知，推测，21 2a 32 3a 43 4a 1nnan由数学归纳法可以证明（略） 。（2）构
7、造函数( )ln1)(0)f xxxx（因为，1( )111xfxxx 当时，所以为单调递增函数，0x ( )0fx ( )f x所以，即有，( )(0)0f xfln(1)xx121231.0.234nnnsaaan1121111. 1123n 111(1.)23nn111(ln(1 1)ln(1)ln(1).ln(1)23nn=。341ln 2.)ln(1)23nnnnn（即。ln(1)nsnn说明：由于数列可以看成是定义域为自然数的一类特殊的函数，所以数列问题同样可以转化为函数类型来处理，本题中第（2）小题解法中，先构造出函数，利用导数研究函数的单调性，得出，再将换成关于自然数的形式，从
8、而得到问题的解决,这是这ln(1)xxxn类问题的常规解法。导数是新教材新增内容之一,它给高中数 学增添了新的活力,特别是导数在函数与不等 式方 面的应用是高考的热点.数列作为实质意 义上的函数,利用导数研究数列的单调性及最 值问 题比用传统方法更为简便. 例 l 数 flJ,a。=(aZl)(n3 一 2 九;)(a 笋士 1)是递增数列,求 a 的取 值范围. 解 3 【09 广东广东理理】21 （本小题满分 14 分）已知曲线从点向曲线引斜率为22:20(1,2,)nCxnxynK( 1,0)P nC的切线，切点为(0)nnk k nl(,)nnnP xy（1）求数列的通项公式；nnxy
9、与（2）证明：1352112sin1nn n nnxxx x xxxyg g g g【解析】曲线是圆心为，半径为的圆，切线222:()nCxnyn( ,0)nn:(1)nnlykx（）依题意有，解得，又， 2|1nnnnkkn k 2 2 21nnkn2220nnnxnxy(1)nnnykx联立可解得，21,11nnnnnxynn（），11 121nnx xn12sin2sin21nnx yn先证：， 135211 21nxxxxnL证法一：证法一：利用数学归纳法当时，命题成立，1n 111 23x 假设时，命题成立，即，nk135211 21kxxxxkL则当时，1nk13521212112
10、1 2(2)21kkkkxxxxxxkkL，2 22 212141616() /12(2)48323kkk kkkk故2111 2(2)232(1) 1k kkk当时，命题成立1nk故成立135211 21nxxxxnL证法二：证法二：，1111 12111nnn xn nxn n1212 14) 12( 4) 12( 2122222 nn nn nn nnnn nxx nnn nnxxxx11 121 1212 53 31 212 43 2112531LLL下证：112sin2121nn不妨设，令，13(0,321tn( )2sinf ttt 则在上恒成立，( )12cos0f tt 3(0
11、,3t故在上单调递减，( )2sinf ttt 3(0,3t从而，即( )2sin(0)0f tttf 112sin2121nn综上，成立1352112sin1nn n nnxxxxxxxyL3、如图5，过曲线C：xye上一点0(0,1)P作曲线C的切线0l交x轴于点11( ,0)Q x，又过1Q作 x轴的垂线交曲线C于点111( ,)P x y，然后再过111( ,)P x y作曲线C的切线1l交x轴于点 22(,0)Q x，又过2Q作x轴的垂线交曲线C于点222(,)P xy，L L，以此类推，过点nP的切线nl，与x轴相交于点11(,0)nnQx，再过点1nQ作x轴的垂线交曲线C于点11
12、1(,)nnnPxy（nN*） (1) 求1x、2x及数列nx的通项公式；(2) 设曲线C与切线nl及直线11nnP Q所围成的图形面积为nS，求nS的表达式；(3) 在满足(2)的条件下, 若数列nS的前n项和为nT，求证：11nnnnTx Tx(nN*) .(本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法， 以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1) 解解: 由xye ，设直线nl的斜率为nk，则nx nke.直线0l的方程为1yx.令0y ，得11x ， 2分1 11xyee ， 11( 1, )Pe .1 11xkee .直线1l的方
13、程为11(1)yxee .令0y ，得22x . 4分一般地，直线nl的方程为()nnxx nyeexx，由于点11(,0)nnQx在直线nl上，11nnxx .数列 nx是首项为1，公差为1的等差数列.nxn . 6分（2）解：解：1 1(1)(1)111()()222|nnxxnnn nnnnnnnSe dxxxyeyeee 21 2ne ee . 8分（3）证明：12111( ) 2111221(1)1222 (1)1nnnneeeeeTeee eeeee eL.10分111 111111111nnn nn n nTeee Teeee e ，1(1)11nnxn xnn . 要证明11nnnnTx Tx ，只要证明111ne een，即只要证明1(1)neene.11分证法证法1 1：（数学归纳法）：（数学归纳法）2当1n 时，显然222(1)021(1)eeeeee 成立；3假设nk时，1(1)keeke成立，则当1nk时，21(1)kkee ee eke ，而2(1) (1)(1)(1) (1)0e ekeekeek.(1)(1)(1)e ekeeke.2(1)(1)keeke.这说明，1nk时，不等式也成立.由知不等式11nnnnTx Tx 对一
