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1、1隐函数的定理及其应用隐函数的定理及其应用摘 要：本文主要讨论了隐函数和隐函数组的相关定理,并举例说明其应用.关键词：隐函数 隐函数组 可微性 导数 引言引言我们在初中时就开始接触到函数,在我们眼中 ,函数就是一种关系 ,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个 (可能相同的 )集合里的唯一元素 .在之前我们所接触到的函数,其表达式大多是自变量的某个算式 ,如21,(sinsinsin)xyzyxuexyyzzx这种形式的函数即为显函数.然而我们在很多地方也会遇到另一种形式的函数,它的自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定的.简单来说,若能由函数方程, ( , )0F x y 确
2、定为的函数,即,就称是的隐函数.yx( )yf x( ,( )0F x f xyx1. .关关于于隐隐函函数数的的一一些些定定理理1.1 隐隐函函数数存存在在惟惟一一性性若(1)函数在以为内点的某一区域上连续；F000(,)P xy0DR(2)(通常称为初始条件)；00(,)0F xy(3)在内存在连续的偏导数；D( , )yF x y(4),00(,)0yF xy则在点的某邻域内,方程惟一地确定了一个定义在某区间0P0()U PD( , )0F x y 内的函数(隐函数),使得00(,)xx( )yf x(1) ,时且；00()f xyx00(,)xx( ,( )x f x0()U P( ,
3、( )0F x f x(2) 在内连续.( )f x00(,)xx2需要注意的是,上述定理中的条件仅仅是充分的.如方程在点不满足条件330yx(0,0)(4)(),但它仍能确定惟一的连续函数.当然,由于条件(4)不满足,往往会导致(0,0)0yFyx定理结论的失效.事实上,条件(3)和(4)只是用来保证存在的某一邻域,在此邻域内关于变量是严格单0PFy调的.因此对本定理的结论来说,可以把后两个条件减弱为：在的某邻域内关于严格单调.采F0Py用较强的条件(3)和(4)只是为了在实际应用中便于检验.如果把定理的条件(3)和(4)改为连续,且,这时结论是存在惟一的连( , )xF x y00(,)0
4、xF xy续函数.( )xg y1 1. .2 2 隐函数的可微性定理隐函数的可微性定理设满足隐函数存在惟一性定理中的条件(1)-(4),又设在内还存在连续的偏导数( , )F x yD,则由方程所确定的隐函数在其定义域内有连续导函数,且( , )xF x y( )yf x00(,)xx. ( , )( )( , )xyF x yfxF x y 若已知方程确定存在连续可微的隐函数,则可对方程应用复合求导法得到隐函数的导数,因为把看作与的复合函数时,有( ,( )F x f x( , )F x y( )yf x( , )( , )0xyF x yF x y y当时,由它即可推得与相同的结果.(
5、, )0yF x y 对于隐函数的高阶导数,可以用和上面一样的方法求得,此时只要假定函数存在相应的连F续的高阶偏导数.我们可以类似的推出由方程所确定的元隐函数的概念.12( , )0nF x xxy Ln1 1. .3 3 元隐函数的惟一存在与连续可微性定理元隐函数的惟一存在与连续可微性定理n若(1) 函数在以点为内点的区域上连12( , )nF x xxyL0000 012(,)nP xxxyL1nDR续；(2) ；0000 12(,)0nF xxxyL3(3) 偏导数在内存在且连续； 12, nxxxyFFFFLD(4) ,0000 12(,)0ynF xxxyL则在点的某邻域内,方程惟一
6、地确定了一个定义在0P0()U PD12( , )0nF x xxy L的某邻域内的元连续函数(隐函数),使000 012(,)nQ xxxL0()nU QRn12( ,)nyf x xxL得(1) 当时,且120( ,)()nx xxU QL12120( ,( ,)()nnx xxf x xxU PLL,1212( ,( ,)0nnF x xxf x xxLL.0000 12(,)nyf xxxL(2) 在内有连续偏导数：,而且12( ,)nyf x xxL0()U Q 12, nxxxfffL.1212,nnxxx xxx yyyFFFfffFFF L例例 1 1 设方程1( , )sin
7、02F x yyxy由于及在平面上任一点都连续,且,故依上述定F,xyF F(0,0)0F1( , )1cos02yF x yy 理,方程确定了一个连续可导隐函数,按公式,其导数为( )yf x.( , )12( )1( , )2cos1cos2xyF x yfxF x yyy 上述都是由一个方程所组成的隐函数,下面来讨论由方程组所确定的隐函数组.设和为定义在区域上的两个四元函数.若存在平面区域( , , , )F x y u v( , , , )G x y u v4VR,对于中每一点分别有区间和上惟一的一对值,它们与一起满足方DDJK,uJ vK, x y程组( , , , )0 ( , ,
8、 , )0F x y u v G x y u v 则说方程组确定了两个定义在上,值域分别落在和内的函数.我们称这两个函数2DRJK为由方程组所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为,则在上成( , )uf x y( , )vg x yD4立恒等式,. ( , )yy u x( , )vv u x为了探索由方程组所确定隐函数组所需要的条件,不妨假设中的函数和是可微的,FG而且由所确定的两个隐函数与也是可微的.那么通过对方程组关于分别求偏导数,得uv, x y到00xuxvxxuxvxFF uF vGG uG v 00yuyvyyuyvyFF uF vGG uG v要想从解出与,从解出与,充分条件是
9、它们的系数行列式不为零,即xuxvyuyv0uvuvF FG G式左边的行列式称为函数和关于变量,的函数行列式(或雅可比 Jacobi 行列式),亦FGuv可记作.条件在隐函数组定理中所起作用与隐函数存在惟一性的条件 (4)相当.( ,) ( , )F G u v 1 1. .4 4 隐隐函函数数组组定定理理若(1) 和在以点为内点的区域内连续；V( , , , )G x y u v0()U Q4VR(2) ,(初始条件)；0000(,)0F xy u v0000(,)0G xy u v(3) 在内,具有一阶连续偏导数；VFG(4) 在点不等于零,0( ,)0( , )PF G u v0P则在
10、点的某一(四维空间)邻域内,方程组惟一确定了定义在点的某一0P0()U PV000(,)Q x y(二维空间)邻域内的两个二元隐函数,使得0()U Q000(,)uf xy000(,)vg xy(1) 且当时000000(,);(,)uf xyvg xy0,()x yU Q,0( , ,( , ), ( , )()x y f x y g x yU P( , ,( , ), ( , )0 ( , ,( , ), ( , )0F x y f x y g x y G x y f x y g x y 5(2) 在内连续；( , ), ( , )f x yg x y0()U Q(3) 在内有一阶连续偏导
11、数,且( , ), ( , )f x y g x y0()U Q,1( ,) ( , )vF G xJx v 1( ,) ( , )vF G xJu x ,.1( ,) ( , )vF G yJy v 1( ,) ( , )vF G yJu y 应该注意的是,本定理中若将条件(4)改为,则方程组所确定的隐函数组相0( ,)0( , )PF G u v应是；其他情形均可类似推得.总之,当我们遇到由方程组定义隐函数组( , ),( , )yy u x vv u x及隐函数组求导的问题时,首先应明确那些变量是自变量,那些变量是因变量,然后再进行有关讨论和运算.2. 隐函数在几何方面的应用隐函数在几何
12、方面的应用2.1 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程给出,它在点的某邻域内满足隐函数定理条件,于是在附000(,)P xy0P近所确定的连续可微隐函数或()和方程在附近表示同一曲线,从而该曲( )yf x( )xg y0P线在点处存在切线和法线,其方程分别为0P(或) 000()()yyfxxx 000()()xxg yyy与 (或)00 01()()yyxxfx 00 01()()xxyyg y 由于(或),所以曲线在点处的切线和法线方程分别为xyFfF yxFgF 0P切线： , 000000(,)()(,)()0xyF xyxxF xyyy法线： . 000000(
13、,)()(,)()0yxF xyxxF xyyy例例 2 2 求笛卡儿叶形线在点处的切线与法线.332()90xyxy(2,1)解解 设,于是,在全平面连续,且33( , )2()9F x yxyxy269xFxy269yFyx,.依次由公式与分别求得曲线在点处的切线与法(2,1)150xF(2,1)120yF (2,1)6线方程分别为即,15(2) 12(1)0xy5460xy即.12(2) 15(1)0xy45130xy2 2. .2 2 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面下面我们讨论由参数方程： L( ),( ),( ),xx tyy tzz tt 表示的空间曲线上的某一点处的
14、切线和法平面方程,其中,L0000(,)P xyz00( )xx t00( )yt,并假定式中的三个函数在处可导,且00( )zt0t0t.222 000 ( )( ) ( )0x ty tz t则曲线在处的切线方程为L0P. 000 000( )( )( )xxyyzz x ty tz t由此可见当,不全为零时,它们是该切线的方向数. 0( )x t 0( )y t 0( )z t过点可以作无数条直线与切线 垂直,且这些直线都在同一平面上,称这平面为曲线在0PlL处的法平面.它通过点,且以为它的法线,所以法平面的方程为0Pn0Pn 000000( )()( )()( )()0x txxy tyyz tzz当空间曲线方程由方程组L： L( , , )0( , , )0F x y zG x y z 给出时,若它在点的某邻域内满足隐函数定理条件(这里不妨设条件(4)是0000(,)P xyz),则方程组在点附近所能确定惟一连续可微的隐函数组,使0( ,)0( , )PF G u v0P( )xz( )yz得,且0000(),()xzyz7,.( ,) ( , ) ( ,) ( , )F G dxz y F Gdz x y ( ,) ( , ) ( ,) ( , )F G dyx z F Gdz x y
