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1、第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 一：集合的含义与表示一：集合的含义与表示 1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个 给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 （2）元素的互异性元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 （3）元素的无序性元素的无序性: : 集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 3、集合的表示： （1）用大写字母表示集合：A
2、=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,c b、描述法： 区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。xR| x-32 ,x| x-32 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 Venn 图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：aA 注意：常用数集及其记法
3、： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 6、集合间的基本关系 （1）.“包含”关系（1）子集 定义：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集。记作：（或 B）BA 注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分；BA （2）A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA（2）.“包含”关系（2）真子集 如果集合，但存在元素 xB 且 xA，则集合 A 是集合 B 的真子集BA如果 AB,且 A B 那就说集
4、合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB(或 BA)读作 A 真含与 B （3）“相等”关系：A=B “元素相同则两集合相等” 如果 AB 同时 BA 那么 A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 （5）集合的性质 任何一个集合是它本身的子集。AA 如果 AB, BC ,那么 AC如果 AB 且 BC，那么 AC 有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集，2n-1 个真子集 7 7、集合的运算、集合的运算 运算类型交 集并 集补 集 定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的交集记作AB（读作
5、A 交 B）I，即 AB=x|xA，I 且 xB由所有属于集合 A 或属 于集合 B 的元素所组成 的集合，叫做 A,B 的并 集记作：AB（读作U A 并 B），即 AB U=x|xA，或 xB)全集：一般，若一个集合汉语我们 所研究问题中这几道的所有元素， 我们就称这个集合为全集，记作： U 设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子 集，由 S 中所有不属于 A 的元素组 成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作，ACSCSA=,|AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2S A性性 质质A A=A A =A B=BAIA BA A BBA U A=A A U =AA U B=B
6、 U A A U BA U BB(CuA)(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=二、函数的概念二、函数的概念 1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使于集合 A 中的 任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA （1）其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域； （2）与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 2函数的三要素：定义域、
7、值域、对应法则 3函数的表示方法： （1） 解析法解析法：明确函数的定义域 （2） 图想像图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。 （3） 列表法列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。 4、函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐 标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标 (x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . (2) 画法
8、 A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。（3）函数图像平移变换的特点：1）加左减右只对 x2）上减下加只对 y3）函数 y=f(x) 关于 X 轴对称得函数 y=-f(x) 4）函数 y=f(x) 关于 Y 轴对称得函数 y=f(-x) 5）函数 y=f(x) 关于原点对称得函数 y=-f(-x) 6）函数 y=f(x) 将 x 轴下面图像翻到 x 轴上面去，x 轴上面图像不动得 函数 y=| f(x)| 7）函数 y=f(x) 先作 x0 的图像，然后作关于 y 轴对称的图像得函数 f(|x|)三、函数的基本性质三、函数的基本性质 1 1、函数解析式子的求法、函
9、数解析式子的求法 （1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它 们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）、求函数的解析式的主要方法有： 1）代入法： 2）待定系数法： 3）换元法： 4)拼凑法： 2 2定义域：定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意的 x
10、 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3 3、相同函数的判断方法、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； 定义域一致 (两点必须同时具备) 4 4、区间的概念：、区间的概念： （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示 5 5、值域、值域 （先考虑其定义域）（先考虑其定义域） （1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； （2）反表示法：针对分式的类型，把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关于 Y 的函数关系式，由 X 的范围类似求
11、Y 的范围。 (3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域， 注意定义域的范围。 (4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。 6.6.分段函数分段函数 （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 （2）各部分的自变量的取值情况 （3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 （4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数 7 7映射映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一 个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就
12、称对应 f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射 f：AB 来说，则应满足： (1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； (2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射， 而映射不一定的函数 8 8、函数的单调性、函数的单调性( (局部性质局部性质) )及最值及最值 （1）、增减函数 1）设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的
13、某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 2）如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)， 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种 （2）、 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性，在单调区间上增函数的图
14、象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. （3）、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：任取 x1，x2D，且 x1x2； 1作差 f(x1)f(x2)； 2变形（通常是因式分解和配方）； 3定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）； 4下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） 5 (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数：如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、g 的复合函数。 复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律
15、：“同增异 减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 9 9：函数的奇偶性（整体性质）：函数的奇偶性（整体性质） （1）、偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数 （2）、奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函 数 （3）、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步骤： a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函 数；若对称，则进行下面判断； b、确定 f(x)与 f(x)的关系； c、作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数； 若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数 （4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性a、在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数； 奇数个奇函数的乘除认为奇函数； 偶数个奇函数的乘除为偶函数； 一奇一偶的乘积是奇函数；b、复合函数的奇偶性：一个为偶
