道路的安全行驶路线(5)

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1、道路的安全行驶路线摘要本文研究了汽车行驶安全，最短时间问题，为绘出路线图，兼顾安全行驶的情况 下找到最短路线，运用插值、规划等方法，建立了插值拟合模型、规划模型，得到了 由 A 到 B 的最短时间，并给出了安全行驶路线。 对于问题一，针对补全道路的问题，本文采用三次样条曲线插值的方法补全了道 路的另一条边。首先通过 matlab 软件读图，统一数据后取出路线上若干个点的坐标数 据，通过三次样条曲线插值，得到出原路线在模拟坐标系下的函数以及其导数，然后 将这若干个点沿着其法线方向平移 3 个像素单位，得到新的点的坐标数据，再次利用 三次样条曲线插值，即可得到道路的另外一条边的连续曲线，很好的绘出

2、了道路的另 一条边。 对于问题二，本文针对给出行车安全行驶路线的问题，兼顾弯极限速度、曲率半 径等因素，建立了优化模型，解决了汽车由 A 到 B 最短时间问题。首先假设该道路为 双向 8 车道，汽车由直道进入弯道前有加速减速缓冲区域，由曲线积分可以算出总道 路长、弯道道路长。由运动学公式可以算出加速减速缓冲区域长度和缓冲时间，而对 于单向 4 条车道的三处不同弯道具有不同的长度和转弯速度，由曲率半径与转弯速度 的关系计算出汽车在不同弯道不同车道的最大转弯速度，采用规划的方法，建立优化 模型，在保证车速安全的条件下可得到汽车在不同车道过不同弯道处的时间的最小值， 在得到汽车通过直线和缓冲区域的时

3、间的前提下，可得到三处时间的总和即最短时间 为 899.917 秒。关键词关键词 插值拟合模型 三次样条曲线插值 曲率半径与速度 优化模型 1一、一、 问题重述问题重述如图，某人驾驶一辆小车从 A 到 B，该路线全程道宽 30 米。 1) 按路线道宽绘出路线图； 2）请给出其沿该道路的安全行驶路线，并求到达的最短时间。二、二、 问题分析问题分析对于问题一，绘路线图是一个作平行线的问题。题目所给图片为 BMP 格式 1354*613 的两色图。其中实际的图象数据是我们所需的，需用计算机编制程提取出来。 对于 2 色位图，1 位就可以表示该象素的颜色：0 表示黑色，用 1 表示白色。BMP 文件2

4、的数据是从下到上，从左到右读取的，每个坐标点的 y 值都是随 x 值连续变化的，为 了提高精度，本文采用三次样条曲线插值确定路线的函数表达式和导函数，将这若干 个点沿着其法线方向平移 3 个像素单位，得到若干个新的坐标点，再次利用三次样条 插值，描出新的连续曲线，则该连续曲线即为道路的另一条边。 对于问题二，30 米的车道是双向 8 车道，将道路分为直道，缓冲区域，弯道。本 文建立了优化模型，在保证安全的条件下，由曲率半径和速度的关系算出汽车在不同 车道不同弯道上行驶时的最大安全速度，根据曲线积分算出每条道路的长度，由速度 与路程的关系分别计算出汽车在不同弯道上的最短时间，结合汽车在直道和缓冲

5、区的 行驶时间，从而解决了所求的最短安全行驶路线的问题。三、三、 模型假设模型假设1. 假设该道路为双向 8 车道； 2. 在直线道路和部分弯道汽车能保持匀速行驶； 3. 道路上只有一辆汽车在行驶； 4. 汽车在直线部分匀速的速度为 120；/km h 5. 汽车在加速和减速阶段都以最大加速度制动； 6. 汽车型号为奥迪 A62.0L 型轿车； 7. 忽略汽车在变道过程中的时间；四、符号说明四、符号说明：第个节点的横坐标；jxj：第个节点的纵坐标；jyj：平移后第个节点的横坐标；jxj：平移后第个节点的纵坐标；jyj：给出的道路曲线函数；31( )sx：平移后道路的另一条边的函数；32( )s

6、x：第个节点的横坐标与第个节点的横坐标之差；jh1j j：第条车道第个弯道处的曲率半径；mnmn：第条车道第个弯道处的所允许的最大过弯速度；mnvmnmnv：每辆汽车自身最大转弯速度；v转：第条车道第个弯道的长度；mnSmn3：第条车道第个弯道的时间；mntmn：汽车在 3 个弯道处的总时间；1t：第 个的缓冲区域长度；iSi：汽车进入第 个的缓冲区域前的初速度；tivi：汽车加速阶段加速度；1a：汽车减速阶段加速度；2a：缓冲区所花费的时间；2t：缓冲区的总长度；S缓：A 到 B 的路线总长度；S总：汽车在直线上行驶的时间；3t：汽车在直线上行驶的速度；v直：汽车行驶的总时间；t五、模型的建

7、立与求解五、模型的建立与求解问题一问题一1 . 5模型的分析模型的分析1 . 1 . 5 绘路线图是一个作平行线的问题，用计算机编程提取我们所需要的图像数据，将图 像放置于平面坐标系 x-y 中。在这些图像数据中取出 30 个点的坐标，采用三次样条进 行插值，得出该条道路的函数表达式以及其导数。将这 30 个点沿着其法线方向平移 3 个像素单位，得到另外 30 个点的坐标值，再次运用三次样条函数插值，求出道路的另 一条边的函数表达式，即得出道路线路图。模型的准备2 . 1 . 5 本文建立了插值模型，根据样条函数插值方法，现给出样条函数的一般概念为 模型的建立做准备。5.1.2.1 三次样条函

8、数的选择4对于上的分划，则, a b01:.naxxxb132332 301 1( )( ,3)(5,1)2!3!3!n j jp js xxxxxxS其中3 3,1,2,.,1 0,jj jjxxxxxxjn xx即为三次样条函数。3( )s x5.1.22 三次样条函数插值条件的确定本文选用的插值条件如下：已知插值节点和相应的函数值以及两个端点处的导数值jx(0,1,2,., )jyjn0,nx x，求，使满足条件 0,nyy3( )( ,3)ps xS3 3()(0,1,2,., ) (5,2)()0,jjjjs xyjnsxyjn有了上述插值条件，就可以保证插值之后的曲线和原道路边线衔

9、接较为平滑。我们采用图中 33 个点的数据，其中为模拟坐标系中道路上第 i 点的( =0,1,2,33)ix iK横坐标，为模拟坐标系中道路上第 i 点的纵坐标，对应关系如表一， ( =0,1,2,3,)iyiL对道路的一边进行三次样条曲线插值，132332 3101 1( )( ,3)(5,3)2!3!3!n j jp jsxxxxxxS即为所求道路的一条边。表一 图中部分个点的横纵坐标X60109176198295338364Y290368420431496571590X522536529525454435431Y410355318310231202193同时，还可以得到该连续曲线的导数，

10、由切线与法线的关系( )f x500022 00-1=-()- - - - - -5 4( -) +( -) =9y y x xf xx xy y （. ）将每个节点沿着法线方向平移 3 个像素单位，得到新的 33 个节点( =0,1,2,33)jx jL（见表二） ，再次利用三次样条曲线插值，即可求出道路的另一条边( =0,1,2,33)jx jL。132332 3201 1( )( ,3)(5,5)2!3!3!n j jp jsxxxxxxS三次样条插值模型的求解三次样条插值模型的求解3 . 1 . 5由于在区间上是一个分段光滑，且具有二阶连续倒数的三次多项3( )s ( ,3)ps x

11、, a b式，则在子区间上是线性函数，记为待定常熟，+1,jjx x3( )s x3= () ( =0,1,2,.33)jjds xj由拉格朗日插值公式可以得到+1 3+1+1-( )=+,=-, =0,1,.,33.jj jjjjj jjxxx xs xddhxx jhh显然在上位常数。于是在上有+1 3-( )=jjjdds xh+1,jjx x+1,jjx x，+123 33-( )=+ ()( -)+( -) +( -) - - -5626jjj jjjjj jddds xys xx xx xx xh（. ）则当时，由上式和问题可知+1=jx x，故可解得+1 3+1-()=-(2+)

12、 576jjj jjj jyyhs xddh（. ）由上述两式得+1+123 3+1+1-( )=+-(2+)( -)+( -) +( -) , ( =0,1,.,32)626jjjjjj jjjjjjjj jjyyhddds xyddx xx xx xxx xjhh58 （. ）+122 3+13+1-()=+ ()+=26jjj jjjjjjjddds xys x hhhy6在有 jjj jjj jj jjjjjjj jxxxxxhddxxdxxddhhyyyxs,622613 1 112 11 11111 13 1,2,33 - - -59j L（. ）根据的一阶导数连续性，由上式得 x

13、s3 .260 31111 3jjjjjjj jxsddhhyyxs结合上式整理得.6211111 11 11 jjjjjjjjj jjj jj jjj hyyhyyhhdhhhddhhh引入记号于是,6,11111 jjjjjjjjj jjj jhyyhyyhhchhha.111 jjj jhhha则jjjjjjcdadda11211,2,32 . 510j L（.）再由边界条件：得 0 3 00 3,nyxsyxs .62,621111 0 001010nnn n nnnhyyyhddyhyy hdd联立上述两式得方程组,CAD 其中7，11323221 1212 12aa Aaa OOO

14、013233d d D d d M10 0 001323332 33 323266yyyhhc Ccyyyhh M由上述方程组可以唯一解出，代入（5.8）式就可以得第一条0,1,2,33jdj L边的三次样条函数的表达式： 31sx。 -532-532-53231-632-832-8323.18 10-0.0123+2.12 +2903.18 10-0.00760+1.42 +368-5.51 10-0.00121+0.552 +420 =1.84 10-0.000294-0.000183 +80-7.50 10+0.000591+0.0474 +80-7.50 10+0.000552+0.247 +xxxxxxxxx sxxxxxxxxxxM106 60109; 109176 176x198;9001060; 10601235; 12351305x xx x x M；同理，道路另一条边的表达式：= 32sx532532532532324.09