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1、八年级数学竞赛辅导教案：由中点想到什么八年级数学竞赛辅导教案：由中点想到什么第十八讲 由中点想到什么线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1中线倍长；2作直角三角形斜边中线；3构造中位线；4构造中心对称全等三角形等熟悉以下基本图形，基本结论： 例题求解【例 1】 如图，在AB 中，B=2，ADB 于 D，为 B 的中点， AB=10，则 D 的长为 (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 取 AB 中点 N，为直角三角形斜边中
2、线定理、三角形中位线定理的运用创造条注 证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有：(1)利用直角三角斜边中线定理；(2)运用中位线定理；(3)倍长(或折半)法 【例 2】 如图，在四边形 ABD 中，一组对边 AB=D，另一组对边 ADB，分别取 AD、B 的中点、N，连结 N则 AB 与 N 的关系是( )AAB=N BABN ABN D上述三种情况均可能出现(2001 年河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题) 思路点拨 中点、N 不能直接运用，需增设中点，常见的方法是作对角线的中点【例 3】如图，在AB 中，AB=A，延长 AB 到 D，使BDAB，E
3、为 AB 中点，连结 E、D，求证： D=2E(浙江省宁波市中考题) 思路点拨 联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，解题的关键是恰当添辅助线【例 4】 已知：如图 l，BD、E 分别是AB 的外角平分线，过点A 作 AFBD，AG E，垂足分别为 F、G，连结 FG，延长AF、AG，与直线 B 相交，易证 FG= (AB+B+A)若(1)BD、F 分别是AB 的内角平分线(如图 2)；(2)BD 为AB 的内角平分线，E 为AB 的外角平分线(如图 3)，则在图 2、图 3 两种情况下，线段 FG 与AB 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中
4、的一种情况给予证明(2003 年黑龙江省中考题) 思路点拨 图 1 中 FG 与AB 三边的数量关系的求法(关键是作辅助线)，对寻求后两个图形中线段 FG 与AB 三边的数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这是解题的基础注 三角形与梯形的中位线在位置上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用 【例】 如图，任意五边形 ABDE， 、N、P、Q 分别为AB、D、B、DE 的中点， 、L 分别为 N、PQ 的中点，求证：LAE且 L= AE(2001 年天津赛区试题) 思路点拨
5、通过连线，将多边形分割成三角形、四边形，为多个中点的 利用创造条，这是解本例的突破口注 需要什么，构造什么，构造基本图形、构造线段的和差(倍分)关系、构造角的关系等，这是作辅助线的有效思考方法之一学历训练1BD、E 是AB 的中线，G、H 分别是 BE、D 的中点，B=8，则 GH= (2003 年广西中考题) 2如图,AB 中、Ba，若 D1、E1；分别是 AB、A 的中点，则 ；若 D2、E2 分别是 D1B、E1 的中点，则 ：若 D3、E3 分别是D2B、E2 的中点则 若 Dn、En 分别是 Dn-1B、En-1 的中点，则 DnEn= (n1 且 n 为整数)(200l 年东省济南
6、市中考题)3如图，AB 边长分别为 AD=14，B=l6，A=26，P 为A 的平分线 AD 上一点，且 BPAD，为 B 的中点，则 P 的值是 4如图， 梯形 ABD 中，ADB，对角线ABD，A=，BD=12，则该梯形的中位线的长等于 (2002 年天津市中考题) 如图，在梯形 ABD 中，ADEFGHB，AE=EG=GB=AD=18，B=32，则 EF+GH=( )A40 B48 0 D66如图，在梯形 ABD 中，ADB，E、F 分别是对角线 BD、A的中点，若 AD=6，B=18，则 EF 的长为( ) A8 D7 6 D7如图，矩形纸片 ABD 沿 DF 折叠后，点落在 AB 上
7、的 E 点，DE、DF 三等分AD，AB 的长为 6，则梯形 ABD 的中位线长为( ) A不能确定 B2 D +1(2001 年浙江省宁波市中考题)8已知四边形 ABD 和对角线 A、BD，顺次连结各边中点得四边形 NPQ，给出以下 6 个命题：若所得四边形 NPQ 为矩形，则原四边形 ABD 为菱形；若所得四边形 NPQ 为菱形，则原四边形 ABD 为矩形；若所得四边形 NPQ 为矩形，则 ABD；若所得四边形 NPQ 为菱形，则 A=BD；若所得四边形 NPQ 为矩形，则BAD=90；若所得四边形 NPQ 为菱形，则 AB=AD以上命题中，正确的是( ) A B D(2001 年江苏省苏
8、州市中考题)9如图，已知AB 中，AD 是 高，E 是中线，D=BE，DGE，G 为垂足求证：(1)G 是 E 的 中点；(2)B=2BE(2003 年上海市中考题)10如图，已知在正方形 ABD 中，E 为 D 上一点，连结 BE，作FBE 于 P，交 AD 于 F 点，若恰好使得 AP=AB，求证：E 是 D 的中点11如图，在梯形 ABD 中，ABD，以 A、AD 为边作平行四边形 AED，D 的延长线交 BE 于 F(1)求证：EFFB；(2)SBE 能否为 S 梯形 ABD 的 ?若不能，说明理由；若能，求出 AB 与 D 的关系12如图，已知 AGBD，AFE，BD、F 分别是AB
9、 和AB的角平分线，若 BF=2，ED=3，G=4，则AB 的周长为 (2002 年四川省竞赛题) 13四边形 ADD 的对角线 A、BD 相交于点 F， 、N 分别为AB、D 中点，N 分别交 BD、A 于 P、Q，且FPQFQP，若BD=10，则 A= (重庆市竞赛题)1 4四边形 ABD 中，ADB， 、F 分别是 AB、D 的中点，AD、B 的延长线分别与 EF 的延长线交于 H、G，则AHE BGE(填“”或“=”或“”号)1如图，在AB 中，D=4，B 边上的中线 AD=2，AB+A=3+ ，则 SAB 等于( )A B D 16如图，正方形 ABD 中，AB8，Q 是 D 的中点
10、，设DAQ=，在 D 上取一点 P，使BAP2，则 P 的长是( ) A1 D2 3 D 17如图，已知 A 为 DE 的中点，设DB、AB、EB 的面积分别为 S1，S2，S3，则 S1、S2、S3 之间的关系式是( )A B D 18如图，已知在AB 中，D 为 AB 的中点，分别延长 A、B 到E、F，使 DE=DF，过 E、F 分别作 A、 B 的垂线，相交于点 P求证：PAE=PBF(2003 年全国初中数学联赛试题) 19如图，梯形 ABD 中，ADB，ABD 于，试判断 AB+D 与AD+B 的大小，并证明你的结论(东省竞赛题)20已知：ABD 和AE 都是直角三角形，且ABD=
11、AE=90如图甲，连结 DE，设为 D 正的中点(1)求证：B=；(2)设BAD=AE，固定ABD， 让 RtAE 绕顶点 A 在平面内旋转到图乙的位置，试问：B；是否还能成立?并证明其结论(江苏省竞赛题) 21如图甲，平行四边形 ABD 外有一条直线 N，过 A、B、 、D4个顶点分别作 N 的垂线 AA1、BB1、l、DDl，垂足分别为Al、B1、l、D1(1)求证 AA1+ l = BB1 +DDl；(2)如图乙，直线 N 向上移动，使点 A 与点 B、 、D 位于直线 N 两侧，这时过 A、B、 、D 向直线 N 引垂线，垂足分别为Al、B1、l、D1，那么 AA1、BB1、l、DDl 之间存在什么关系? (3)如图丙，如果将 N 再向上移动，使其两侧各有 2 个顶点，这时过 A、B、 、D 向直线 N 引垂线，垂足分别为 Al、B1、l、D1，那么AA1、BB1、l、DD1 之间又存在什么关系?
