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1、八年级数学竞赛例题和差化积八年级数学竞赛例题和差化积-因式分解的应用专题讲解因式分解的应用专题讲解专题 0 和差化积因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1复杂的数值计算；2代数式的化简与求值；3简单的不定方程（组） ；4代数等式的证明等有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果：1 ;2 ;3 ；4 ；例题与求解【例 1】已知 ， ，那么 的值为_ （全国初中数学联赛试题）解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求 a，b 之间的关系，代入关系求值【例 2】a，b
2、，是正整数，ab，且 ，则 等于()A 1 B1 或7 1 D1 或 7（江苏省竞赛试题）解题思路：运用因式分解，从变形条等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具求代数式的值的基本方法有；(1)代入字母的值求值；(2)代入字母间的关系求值；(3)整体代入求值【例 3】计算：(1) （“希望杯”邀请赛试题）（2） （江苏省竞赛试题）解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式探求解题思路；对于(2)，可以先研究 的规
3、律 【例 4】求下列方程的整数解(1) ; （上海市竞赛试题）(2) （四川省竞赛试题）解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条，从分解因式入手解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识【例】已知 ， ，求下列各式的值：(1) ； (2) ； (3) 解题思路：先分解因式再代入求值【例 6】一个自然数 恰等于另一个自然数 的立方，则称自然数 为完全立方数，如 2733，27 就是一个完全立方数若 1991993
4、1991993199199419919923，求证： 是一个完全立方数 （北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将 分解为完全立方式的形式即可能力训练A 级1 如图，有三种卡片，其中边长为 的正方形卡片 1 张，边长分别为 ， 的长方形卡片 6 张，边长为 的正方形卡片 9 张，用这 16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 _（烟台市初中考试题）2已知 ，则 的值为_ （江苏省竞赛试题）3方程 的整数解是_ （“希望杯”邀请赛试题）4 如果 是完全平方式，那么 的值为_ （海南省竞赛试题）已知 ( )，则 的值是( )A2， B2 D 6当 ， 的值为( )A 1 B0 2 D17已
5、知 ， ，则与 N 的大小关系是( )A N BN N D不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8 为某一自然数，代入代数式 中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )A 388944 B38894 38894 D388948（五城市联赛试题）9计算：(1) （北京市竞赛试题）(2) (安徽省竞赛试题) 10 一个自然数 恰好等于另一个自然数 的平方，则称自然数 为完全平方数，如 6482，64 就是一个完全平方数，若 19982199821999219992，求证： 是一个完全平方数（北京市竞赛试题）11 已知四个实数 ， ， ， ，且 ， ，若四个关系式 ， ， ，同时成
6、立(1)求 的值；(2)分别求 ， ， ， 的值（湖州市竞赛试题）B 级1已知 是正整数，且 是质数，那么 _ （“希望杯”邀请赛试题）2已知三个质数 的乘积等于这三个质数的和的倍，则 _ （“希望杯”邀请赛试题）3 已知正数 ， ， 满足 ，则_ （北京市竞赛试题）4在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆原理是：如对于多项式 ，因式分解的结果是 ，若取 9， 9 时，则各个因式的值是： ，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式 ，取 10， 10 时，用上述方法产生的密码是：_ （写出一个即可）（浙江省中考试题）已知 ， ，
7、是一个三角形的三边，则 的值( )A 恒正 B恒负 可正可负 D非负(太原市竞赛试题)6若 是自然数，设 ，则( )A 一定是完全平方数 B存在有限个 ，使 是完全平方数一定不是完全平方数 D存在无限多个 ，使 是完全平方数7方程 的正整数解有( )组A3 B2 1 D0（“五羊杯”竞赛试题）8方程 的整数解有( )组A2 B4 6 D8（”希望杯”邀请赛试题）9设 N696941069310692691 试问有多少个正整数是 N 的因数？（美国中学生数学竞赛试题） 10当我们看到下面这个数学算式 时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道 但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：， ， ， ，你能发现以上等式的规律吗？11 按下面规则扩充新数：已有 ， 两数，可按规则 扩充一个新数，而以 ， ， 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，每扩充一个新数叫做一次操作 现有数 1 和 4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数 1999，并说明理由（重庆市竞赛试题）12 设 ， ， 为正整数 被 整除所得的商分别为 ， (1)若 ， 互质，证明 与 互质；(2)当 ， 互质时求 的值；( 3)若 ， 的最大公约数为，求 的值（江苏省竞赛试题）
