统计、概率知识点

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1、严谨求实，追求卓越 数学家 张竹强1统计、概率统计、概率 本次课学习目标：本次课学习目标： 1、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样简单随机抽样、系统抽样、分层抽样 2、样本数字特征、样本数字特征 3、茎叶图、频率分布直方图、茎叶图、频率分布直方图 4、回归直线、回归直线 5、古典概型、古典概型 6、几何概型、几何概型 一、统计一、统计 1：简单随机抽样：简单随机抽样 2：系统抽样：系统抽样 （1）系统抽样（等距抽样或机械抽样）： 把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样 本采用简单随机抽样的办法抽取。 K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模） （

2、2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。 3：分层抽样：分层抽样分层的比例问题：抽样比=样本容量各层样本容量 个体容量各层个体容量4：用样本的数字特征估计总体的数字特征：用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）样本均值：nxxxxnL21（2）样本标准差：nxxxxxxssn22 22 12)()()(L5:用样本的频率分布估计总体分布用样本的频率分布估计总体分布 （1）频率分布表与频率分布直方图 （2）频率分布折线图 ：连接频率分布直方图中各个小长方形上端的重点，就得到频率分布折线图。（3）总体密度曲线：总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的半分比，它能给我们提供更加精 细

3、的信息。 （4）茎叶图：茎是指中间的一列数，叶是指从茎旁边生长出来的数。 6：变量间的相关关系：自变量取值一定时因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系交相 关关系。对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。 回归直线：根据变量的数据作出散点图，如果各点大致分布在一条直线的附近，就称这两个变量之 间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线方程。如果这些点散布在从左下角到右上角的区域， 我们就成这两个变量呈正相关；若从左上角到右下角的区域，则称这两个变量呈负相关。设已经得到 具有线性相关关系的一组数据： 所要求的回归直线方程为：，其中，是待定的系数。ybx a 二、概二、概

4、率率x1x。 nxy1y。 ny严谨求实，追求卓越 数学家 张竹强21：随机事件的概率及概率的意义：随机事件的概率及概率的意义 （1）必然事件：在条件 S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件 S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件 S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件； （4）随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件 S 的随机事件； （5）频数与频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件A 出现的次数为事件 A 出现的频数

5、；称事件 A 出现的比例为事件 A 出现的概率：An( )A nnfAn对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率稳定在某个常数( )nfA上，把这个常数记作 P（A） ，称为事件 A 的概率。（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数 n 的比值An，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动nnA幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可 能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率2：概率的基本性质：概率的基本性质 （1）必然事件概率

6、为 1，不可能事件概率为 0，因此 0P(A)1 （2）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （3）若 AB 为不可能事件，即 AB=，那么称事件 A 与事件 B 互斥； （4）若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件； （5）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)； 若事件 A 与 B 为对立事件，则 AB 为必然事件，所以 P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1 P(B) （6）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生， 其具体包括三种不同

7、的情形： 事件 A 发生且事件 B 不发生；事件 A 不发生且事件 B 发生； 事件 A 与事件 B 同时不发生，而对立事件是指事件 A与事件 B 有且仅有一个发生，其包括两种情 形；事件 A 发生 B 不发生；事件 B 发生事件 A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。 3 3：基本事件：基本事件 （1）基本事件：基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个，它是试验中不能再分 的最简单的随机事件。 （2）基本事件的特点：任何两个基本事件是互斥的任何事件（除不可能事件外）都可以表示成 基本事件的和。 4 4：古典概型：古典概型 （1）古典概型的条件：古典概型是一种特殊的数学模型，这种

8、模型满足两个条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。所有基本事件必须是有限个。 （2）古典概型的解题步骤； 求出总的基本事件数；求出事件 A 所包含的基本事件数，然后利用公式A( )p A 所包含的基本事件的个数 总的基本事件个数5：几何概型：几何概型严谨求实，追求卓越 数学家 张竹强3（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例， 则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：；积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件AAp)(1为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所

9、得数据整理后列出了频率分 布表如下：组 别频数频率145.5149.510.02149.5153.540.08153.5157.5200.40157.5161.5150.30161.5165.580.16165.5169.5Mn合 计MN（1）求出表中, ,m n M N所表示的数分别是多少？（2）画出频率分布直方图. （3）全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？2从两个班中各随机的抽取10名学生，他们的数学成绩如下： 甲班767421 世纪教育网82966676787252来源:21 世纪教育网68 来源:21 世纪教育网乙班86846276789282748885画出茎叶图并分析两个班学生

10、的数学学习情况。严谨求实，追求卓越 数学家 张竹强4110名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c，则有( )A cba Bacb Cbac Dabc 2下列说法错误的是 ( )A在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体 B一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大3某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15， 那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )A3.5 B3

11、 C3 D5 . 0 4. 要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小，需知道相应样本的( ) A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 频率分布 5要从已编号（160:）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔 一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）A5,10,15,20,25,30 B3,13,23,33,43,53 C1,2,3,4,5,6 D2,4,8,16,32,486容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表： 组号12345678 频数1013x141513129 第三组的频数和频率分别是 ( )来

12、源:21 世纪教育网A14和0.14 B0.14和14 C 141和0.14 D 31和1417为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有 ；2000名运动员是总体；每个运动员是个体；所抽取的100名运动员是一个样本； 样本容量为100；这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样；每个运动员被抽到的概率相等。 8经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢” 、 “不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不 喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的2位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位

13、执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人。9数据70,71,72,73的标准差是_。10数据123,.,na a aa的方差为2，平均数为，则（1）数据123,.,(0)nkab kab kabkab kb的标准差为 ，平均数为 （2）数据123(), (), (),., (),(0)nk ab k ab k abk abkb的标准差为 ，平均数为 。严谨求实，追求卓越 数学家 张竹强511观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在2700,3000的频率为 。12对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁

14、的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？13某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人。为了了解普通话在该校中的推 广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到 40岁的教师中应抽取的人数为多少人？14已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，求时速在60,70的汽车大约有多少辆？15某校高三年级进行了一次数学测验，随机从甲乙两班各抽取 6 名同学，所得分数的茎叶图如图所示(1)根据茎叶图判断哪个班的平均分数较高，并说明理由；(2)现从甲班这 6 名同学中随机抽取两名同学，求他们的分数之和大于 165 分的概率2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重00.001频率/组距时速 （km）0.010.020.030.04频率 组距40 50 60 70 80严谨求实，追求卓越 数学家 张竹强6