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1、如何教孩子解小学数学应用题？作者：知原我这里的方法已经经过我侄女的检验，我从她小学四年级开始用这种方法教她， 并说这种方法可以让她受用到初一。一般来说，女孩子的逻辑思维比较差，数学对 她们来说是难点，但正因为我这种方法的作用使她的数学一直能在班上名列前茅， 她自己也多次说过要感谢我这种方法。现在我侄儿又读小学四年级了，他又开始问我这方面的数学题，我又开始用这种 方法来教我侄儿，下面的两题是他今晚问的我，我以这两题为例来谈谈我的方法。题一：某商场的女职工比男职工多 60 人，女职工人数是男职工的 3 倍，这个商 场有男女职工各多少人？题二、父亲比儿子的年龄大 27 岁，4 年后父亲的年龄是儿子年
2、龄的 4 倍，父亲 现在多少岁？我跟我侄儿讲，你把题目中的“比” 、 “是”之类的看作“=” ，把“多” 、 “大”之 类的看作是“+” ，把“少” 、 “小”之类的看作“-” ，把“的几倍”看作“几” 。 然后用文字根据题意一步一步的列出关系式。比如题一中的， “女职工比男职工多 60 人”可以写成“女职工=男职工+60 人” ， 简写成“女=男+60” ；“女职工人数是男职工的 3 倍”可以写成“女职工人数=男 职工3 倍” ，简写成“女=男3” 。这样我们就轻轻松松的列出了题一中的两个关 系式：女=男+60 （1）女=男3 （2）然后再教他将（2）代入（1）可得：男3=男+60 （3）然
3、后再教他等式两边同时减去一个相同的数“男” ，可得：2 男=60 （4）解得：男=30 （5）然后将（5）代入（1）或（2） ，可得：女=90 （6）这样题目就轻轻松松的跟他讲清楚了。题二只是稍作了点变动，讲法类似。我这种方法有两个要点：一是，把题目中的“比” 、 “是”之类的看作“=” ，把“多” 、 “大”之类的看作是“+” ，把“少” 、 “小”之类的看作“-” ，把“倍”看作“” 。二是，用文字列数学关系式。其实小学数学应用题难就难在这两点，一是题意不好理解，他们有时搞不清“多” 、 “大”应该是“+” ，还是“-” ；“少” 、 “小”应该是“-” ，还是“+” ；“的几倍” 应该“
4、” ，还是“” ；“比” 、 “是”前后的未知量搞颠倒。二是他们没学过代数，或只学过解一个未知数“x”的方程，不会列关系式。 如果我们教他们设未知量为“x” 、 “y” 、 “z” ，他们会非常不理解，难以接受。但我 们如果直接用题目中的文字列数学关系式（即，直接用题目中的“父亲” 、 “儿子” 、 “女职工” 、 “男职工”等当未知量列数学关系式）的话，他们就能非常自然的理解。然后再教他们简单的解方程的技巧，而小学数学应用题的方程解法一般都很简单。我这种方法的要点二“用文字列数学关系式” ，可以说是数学应用题的算数 解法到代数解法的中间过渡阶段，然而我们小学数学应用题的教学中缺少了这一环。
5、正是因为缺少了这一环，导致我们的老师很难跟学生讲清楚这类数学应用题的算数 解法的理由和求解过程，导致我们的学生很难理解一些算数解法，不仅学生难以理 解，就连我们这些作为“大人”的家长其实也常常难以理解。而我们的家长面对孩 子们问这类题目时，用初一的代数方法很容易解出，却很难讲清楚算数方法，而列 出的算数方法通常也是根据代数方法的解法演变过来的，即在用代数方法求解“x” 、“y”的过程中不进行演算，而只进行推导，将最后的推导作为算数解法。而用我这上面的方法向孩子讲解，可以让孩子有一个从算数解法到代数解法的适 应过程。其实我们小学数学应用题的教学过程的最大败笔就是缺少了“用文字列数学关系 式”这一
6、环，非要学生用算数方法很难解，但用代数方法很容易求解的题目。这完 全是折磨学生的一种教学方法，却美其名为锻炼孩子的逻辑思维能力。孩子的逻辑 思维能力不是这个锻炼法，而是应该让孩子有一个，从算数方法到文字方法，再到 代数方法的一个层层递进的过程。我这种方法就是在受到了小学数学应用题的算法 解法的折磨过程，并在初一学习了代数方法后悟出来的一个方法。我这里呼吁各位家长和老师用这种方法向您的孩子教学，以弥补我们小学数学教 育的一个重大缺陷，更希望教育部能够接受这种方法让它能够走进课堂，以减少对 我们的孩子和家长的折磨。作者简介: 笔名：知原，1975 年生，湖北钟祥人。著名网络思想家，著有中华复兴方略
7、 、 哲学思考 、 从血缘治国向能力治国的转变 、 中国：问题与出路 、 新社会主 义 、 十字路口的中国出路等书。 代数的体系 作者：知原以下是我读初中二年级时对代数的一点领悟：我发现所谓乘法就是对许多个相同的数相加的一种简约记法，所谓乘方就是对许 多个相同的数相乘的一种简约记法，即：b 个 a 相加简记为 ab aaa=abb 个 a 相乘简记为 ab aaa=ab我将加法称之谓一阶运算，乘法称之谓二阶运算，乘方称之谓三阶运算。我用一 个统一的“米”字符表示运算符号，它上面加一个数字表示运算的阶数，比如，一 阶运算上面加一个 1 表示为一阶运算（即“” ） ，二阶运算上面加一个 2 表示为
8、二 阶运算（即“” ） ，三阶运算上面加一个 3 表示为三阶运算（即“” ） 。我认为还 应该有比乘方运算更高的四阶运算、五阶运算乃至阶运算。我将代数的这一规律称之谓“同算律” 。我还发现了代数的另外两个重要构造原 理：通表律和逆算律。所谓通表律是指，用一个集合符号表示服从某种共同规律的 元素符号。比如：（）/ （）/ （）/ 为了表示上面的规律，我们用表示自然数集，即元素、的集合， 那么上面的规律可以表示为通用形式：（）/ 所谓逆算律是指，诸如：或 ；或等构造逆运算的一种方法。我发现代数的基本骨架是由这三个原理构造的，当然细节部分还需总结更多的构 造原理。另外，我们目前的代数只发展到了三阶运
9、算阶段，即乘方和它的两个逆运 算开方和对数运算。还有，正运算都是封闭的，而逆运算一般是开放的，即正 运算不会导致数域的扩充，而逆运算则一般会导致数域的扩充。由于我认识到还存 在比乘方更高的四阶运算、五阶运算等，所以我只认为复数数域只是代数发展到三 阶运算阶段的最大数域，随着对四阶运算、五阶运算等的认识，数域的范围也会随 之而扩大。对于一般阶运算，我还考虑过为负数、小数甚至虚数等的情况。随着后来系统 论思想的产生，我还认识到一般阶运算是数和数之间通过运算符号建立的一种联系， 所以我也曾设想过将代数中的阶运算推广为系统论中表示事物的普遍联系的形式， 即如果我们用、表示系统的两个个体，用“*”表示个
10、体与个体之间的联系， 那么个体与个体之间的联系可以表示为*。由于我认识到一个个体可以同 时与多个个体发生联系，以及多个个体也可同时发生同种联系，而代数中的阶运算 却是一个数只可同时与一个或两个数发生运算，如*或*、*，及最多只可有 两个数同时发生联系，所以我认为目前的代数中的阶运算只是一种最简单的联系形 式。我也曾设想过将代数学扩展为一般联系的数学，后来我认识到计算机中的面向 对象的编程语言其实就体现为这种思想。面向对象的编程语言解决的核心问题就是 对象与对象之间通过其属性发生相互联系的问题，因此我认为计算机编程语言将逐 渐发展为数学的一部分而使其更具有普遍意义。初二的这一领悟对我后来的许多思
11、想产生过重大影响，这一发现使我很早就认识 到代数是一门严谨的演绎体系，是可以不通过任何实践活动而仅凭我上面说的三个 原理无限推演下去的。不过，我同时又认识到这三个原理是我从现有的代数中归纳 出来的，因此我认识到这种推演必然是封闭的，要想使这一推演为开放的，我们就 必须去归纳更多的原理，而归纳所依赖的基本知识的产生是必须依赖于实践活动的， 是人们从实践中总结出来的。这一认识使我后来在接触西方哲学时能很容易理解西 方哲学的基本精神从而写出演绎、归纳与宇宙的统一性等文章。另外，我将代数和几何对比后，我是明显的更喜欢代数的，因为代数中不需要任 何公理，它是一个纯概念的演绎体系（不是公理，而是定义，即我
12、们将 定义为） ，而几何的基础却依赖于一些基本公理，我从那时起就有一种不 愿承认公理的心理。再者，虽说以后系统思想的产生使我对代数认识的更为深刻，但我对代数的这种 领悟也直接影响了我的系统论思想。最后，我根据这一领悟形成了“逢三进一”的历史发展观（参见“1” 、 “2” 、“3”的特定含义一文） ，因为我认识到，对加法、乘法、乘方这三阶运算的归纳使我发现了整个阶运算，而不只是四阶运算、五阶运算依次递进。当然，有人可能认为上面的发现并无实际意义，我想说的是，古希腊哲学与中国 哲学的一个重大区别就是古希腊的哲学家不重视理论的实际意义，而只注重理论本 身的内在自恰性，正是由于这一点才导致了他们发展出
13、了认识世界的方法并最终导 致了近现代科学的产生；中国哲学正因为太注重实用性，所以尽管中国古代的实用 技术很发达却无法发展出近现代科学。另外，在人类早期很难想象乘方运算会有什 么实际意义，在虚数刚发现之时人们也很难想象虚数的实际意义，但最终都证明这 些发现是很有实际意义的；目前我们虽然很难想象出四阶运算、五阶运算等会有什 么实际意义，但我相信人类的发展最终会证明这些高阶运算都是会有实际意义的。 还有，即使高阶运算没有任何实际意义，它的逻辑上的意义也是很明显的，它显示 出代数是一门严谨的逻辑体系，据我所知，罗素和怀特海正是由于受到数学的这种 启发才创造出数理逻辑的。有人也可能会根据现代数学来说明我
14、上面的发现很幼稚，我对此只想强调的是， 那主要是我初二时的领悟，我想一个初二的学生能产生这样的认识应该是很少见的。 我自从产生这一领悟之后就相信，现代数学肯定应该已经发现了它，我从那时起就 开始寻求这方面的知识，但由于我出生在一个小城镇难以获得这方面的知识，以及 后来并未上大学深造，所以我一直没能弄清楚这方面的知识，我只是从一些书籍中 隐约感觉到群论、数理逻辑等知识中具有类似的思想，但又似乎不完全一样。我之 所以将这一发现写出来，主要是想请懂这方面知识的网友能向我介绍一下这方面的 知识。另外，这一发现是我思想发展的一个重要阶段，将此记录下来至少对我个人 来说是很有意义的。补充：我的这种思想与皮
15、亚诺的自然数公理是不同的。皮亚诺的自然数公理是从“集合” 、 “后继” 、 “对映”这三个元概念出发的，以四条或五条公理为基础的。我的则是 以“1” 、 “+” 、 “=”为元概念，交换律和结合律为两个基本运算规则，以及我总结 的三个规律“同算律” 、 “通表律” 、 “逆算律”为基本扩充规则的。这里的主要 区别可以说是整体与个体的视角的区别，皮亚诺是从自然数集这个整体出发的，我 则是从“1” 、 “+” 、 “=”这些个体出发的。我的这种思想只需要“1” 、 “+” 、 “=”这三个元概念，交换律和结合律这两个运 算规则，同算律、通表律、逆算律这三个扩充规则即可，是一个纯概念演绎系统。 自然
16、数集中的 2、3、4、5等元素，是由 1+1=2 、1+1+1=3、1+1+1+14、1+1+1+1+1=5演绎定义的，它们不是公理。至于“1” 、 “+” 、 “=”这三个元概念，只能归纳定义，而不能演绎定义。何新先生的评论与我的回复：何新论坛站长顽石转何新先生答复：代数运算具有几何解释，加法是线上点的累积，乘法是面积，乘方是体积，由于 牛顿空间的三维所以代数运算只有你说的三阶。你很有抽象思维的能力，有机会想 见见你。你好：请代我向何新先生问好，我说过何新是对我影响较大的为数不多的当代中国学者之一，我向各位一样也是何新先生文章的热心读者和支持者。当然存在一些小的分 歧是正常的。在逻辑方面至少我现在还
