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1、第 1 页 共 32 页导数及其应用导数及其应用一、知识网络一、知识网络二、高考考点二、高考考点1、导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决实际问题中的应用。三、知识要点三、知识要点（一）导数1、导数的概念（1）导数的定义（）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量 x 在 处有增量x（x 可正可负），则函数 y 相应地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点处可导，并把这个极限叫做 在点 处的导数（或变化率），记作 ，即
2、。第 2 页 共 32 页（）如果函数 在开区间（ ）内每一点都可导，则说 在开区间（ ）内可导，此时，对于开区间（ ）内每一个确定的值 ，都对应着一个确定的导数 ，这样在开区间（ ）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间（ ）内的导函数（简称导数），记作 或 ， 即 。认知：（）函数 的导数 是以 x 为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。（）求函数 在点 处的导数的三部曲：求函数的增量 ；求平均变化率 ；求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。（2）导数的几何意义：函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线
3、的斜率。（3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（）若函数 在点 处可导，则 在点 处连续；若函数 在开区间（ ）内可导，则 在开区间（ ）内连续（可导一定连续）。事实上，若函数 在点 处可导，则有 此时，第 3 页 共 32 页记 ,则有 即 在点 处连续。（）若函数 在点 处连续，但 在点 处不一定可导（连续不一定可导）。反例： 在点 处连续，但在点 处无导数。事实上， 在点 处的增量 当 时， ， ；当 时， ， 由此可知， 不存在，故 在点 处不可导。2、求导公式与求导运算法则（1）基本函数的导数（求导公式）公式 1 常数的导数： （c 为常数），即常数的导数等于
4、 0。公式 2 幂函数的导数： 。公式 3 正弦函数的导数： 。公式 4 余弦函数的导数： 公式 5 对数函数的导数：（） ；（） 公式 6 指数函数的导数：（） ；（） 。第 4 页 共 32 页（2）可导函数四则运算的求导法则设 为可导函数，则有法则 1 ；法则 2 ；法则 3 。3、复合函数的导数（1）复合函数的求导法则设 ， 复合成以 x 为自变量的函数 ，则复合函数 对自变量 x的导数 ，等于已知函数对中间变量 的导数 ，乘以中间变量 u 对自变量 x 的导数 ，即 。引申：设 ， 复合成函数 ， 则有 （2）认知（）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先
5、由最外层的主体函数结构设出 ，由第一层中间变量 的函数结构设出 ，由第二层中间变量 的函数结构设出 ，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量 为自变量 x 的简单函数为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：；（）运用上述法则求复合函数导数的解题思路分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。二、导数的应用1、函数的单调性（1）导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数 在某
6、个区间内可导，则若 为增函数；若 为第 5 页 共 32 页减函数；若在某个区间内恒有 ，则在这一区间上为常函数。（2）利用导数求函数单调性的步骤（）确定函数 的定义域；（）求导数 ；（）令 ，解出相应的 x 的范围当 时， 在相应区间上为增函数；当 时 在相应区间上为减函数。（3）强调与认知（）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域 D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域 D。若由不等式 确定的 x 的取值集合为 A，由 确定的 x 的取值范围为 B，则应用；（）在某一区间内 （或 ）是函数 在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程 的根不一定是增、减区间的分
7、界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定 的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。举例：（1） 是 R 上的可导函数，也是 R 上的单调函数，但是当 x=0 时， 。（2） 在点 x=0 处连续，点 x=0 处不可导，但 在（-，0）内递减，在（0，+）内递增。2、函数的极值（1）函数的极值的定义设函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点，都有 ，则说 是函数的一个极大值，记作 ；如果对 附近的所有点，都有 ，则说 是函数 的一个极小值，记作。第 6 页 共 32 页极大值与极小值统称极值认知：由函数的极值定义可知：（）函数的极值点 是区间 内部
8、的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；（）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；（）当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时，函数 在 内的极大值点，极小值点交替出现。（2）函数的极值的判定设函数 可导，且在点 处连续，判定 是极大（小）值的方法是（）如果在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为极大值；（）如果在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为极小值；注意：导数为 0 的不一定是极值点，我们不难从函数 的导数研究中悟出这一点。（3）探求函数极值的步骤：（）求导数 ；（）求方程 的实根及 不存在的点；考察 在上述方
9、程的根以及 不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则 在这一点取得极大值，若左负右正，则 在这一点取得极小值。3、函数的最大值与最小值（1）定理若函数 在闭区间上连续，则 在 上必有最大值和最小值；在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值。认知：（）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。（）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个第 7 页
10、 共 32 页极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。（）若 在开区间 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。（2）探求步骤：设函数 在 上连续，在 内可导，则探求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：（ I ）求 在 内的极值；（ II ）求 在定义区间端点处的函数值 ， ；（ III ）将 的各极值与 ， 比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。引申：若函数 在 上连续，则 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：（ I ）求出 的导数为 0 的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；（ II ）
11、计算并比较 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值。（3）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；（ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点 满足 ，并且 在点 处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。四、经典例题四、经典例题例例 1 1、设函数 在点 处
12、可导，且 ，试求（1） ；（2） ；第 8 页 共 32 页（3） ；（4） （ 为常数）。解：注意到 当 ）（1） ；（2） =A+A=2A（3）令 ，则当 时 ， （4） 第 9 页 共 32 页点评：注意 的本质，在这一定义中，自变量 x 在 处的增量 的形式是多种多样的，但是，不论 选择哪一种形式，相应的 也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。若自变量 x 在 处的增量为 ，则相应的 ，于是有 ；若令 ，则又有 例例 2 2、（1）已知 ，求 ；（2）已知 ，求 解：（1）令 ，则 ，且当 时， 。注意到这里 （2） 注意到 ，由已知得 第 10 页 共 32 页由、得
13、 例例 3 3、求下列函数的导数（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；（5） ； （6） 解：（1） （2） ， （3） ， （4） ， （5） ， 第 11 页 共 32 页（6） 当 时， ；当 时， 即 。点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。例例 4 4、在曲线 C： 上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线 C 关于该点对称。解：（1） 当 时， 取得最小值-13又当 时， 斜率最小的切线对应的切点为 A（2，
14、-12）；（2）证明：设 为曲线 C 上任意一点，则点 P 关于点 A 的对称点 Q 的坐标为 且有 将 代入 的解析式得，点 坐标为方程 的解 第 12 页 共 32 页注意到 P，Q 的任意性，由此断定曲线 C 关于点 A 成中心对称。例例 5 5、已知曲线 ，其中 ，且均为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，设上述两曲线的公共点为 ，则有， ， ， ， ， 于是，对于 有 ； 对于 ，有 由得 ，由得 ，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，两曲线在公共点处的切线重合两曲线在公共点处相切。例例 6 6、（1）是否存在这样的
15、k 值，使函数 在区间（1，2）上递减，在 （2，+）上递增，若存在，求出这样的 k 值； （2）若 恰有三个单调区间，试确定 的取值范围，并求出这三个单调区间。解：（1） 由题意，当 时 ，当 x(2,+) 时 ，第 13 页 共 32 页由函数 的连续性可知 ，即 整理得 解得 或 验证：（）当 时， 若 ，则 ；若 ， 则 ， 符合题意；（）当 时， ，显然不合题意。于是综上可知，存在 使 在（1，2）上递减，在（2，+）上递增。（2） 若 ，则 ，此时 只有一个增区间 ，与题设矛盾；若 ，则 ，此时 只有一个增区间 ，与题设矛盾；若 ，则 并且当 时， ；当 时， 综合可知，当 时， 恰有三个单调区间：减区间 ；增区间 点评：对于（1），由已知条件得 ，并由此获得 k 的可能取值，进而再利用已知条件对所得 k值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例例 7 7、已知函数 ，当且仅当 时， 取得极值，并且极大值比第 14 页 共 32 页极小值大 4.（1）求常数 的值；（2）求 的极值。解：（1） ，令 得方程 在 处取得极值 或 为上述方程的根， 故有 ，即 又 仅当 时取得极值，方程 的根只有 或 ，方程 无实根， 即 而当 时， 恒成立， 的正负情况只取决于 的取值情况当
