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1、第 1 页 共 32 页导数及其应用导数及其应用一、知识网络一、知识网络二、高考考点二、高考考点1、导数定义的认知与应用;2、求导公式与运算法则的运用;3、导数的几何意义;4、导数在研究函数单调性上的应用;5、导数在寻求函数的极值或最值的应用;6、导数在解决实际问题中的应用。三、知识要点三、知识要点(一)导数1、导数的概念(1)导数的定义()设函数 在点 及其附近有定义,当自变量 x 在 处有增量x(x 可正可负),则函数 y 相应地有增量 ,这两个增量的比 ,叫做函数在点 到 这间的平均变化率。如果 时, 有极限,则说函数 在点处可导,并把这个极限叫做 在点 处的导数(或变化率),记作 ,即
2、。第 2 页 共 32 页()如果函数 在开区间( )内每一点都可导,则说 在开区间( )内可导,此时,对于开区间( )内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间( )内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做 在开区间( )内的导函数(简称导数),记作 或 , 即 。认知:()函数 的导数 是以 x 为自变量的函数,而函数 在点 处的导数 是一个数值; 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。()求函数 在点 处的导数的三部曲:求函数的增量 ;求平均变化率 ;求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。(2)导数的几何意义:函数 在点 处的导数 ,是曲线 在点 处的切线
3、的斜率。(3)函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别:()若函数 在点 处可导,则 在点 处连续;若函数 在开区间( )内可导,则 在开区间( )内连续(可导一定连续)。事实上,若函数 在点 处可导,则有 此时,第 3 页 共 32 页记 ,则有 即 在点 处连续。()若函数 在点 处连续,但 在点 处不一定可导(连续不一定可导)。反例: 在点 处连续,但在点 处无导数。事实上, 在点 处的增量 当 时, , ;当 时, , 由此可知, 不存在,故 在点 处不可导。2、求导公式与求导运算法则(1)基本函数的导数(求导公式)公式 1 常数的导数: (c 为常数),即常数的导数等于
4、 0。公式 2 幂函数的导数: 。公式 3 正弦函数的导数: 。公式 4 余弦函数的导数: 公式 5 对数函数的导数:() ;() 公式 6 指数函数的导数:() ;() 。第 4 页 共 32 页(2)可导函数四则运算的求导法则设 为可导函数,则有法则 1 ;法则 2 ;法则 3 。3、复合函数的导数(1)复合函数的求导法则设 , 复合成以 x 为自变量的函数 ,则复合函数 对自变量 x的导数 ,等于已知函数对中间变量 的导数 ,乘以中间变量 u 对自变量 x 的导数 ,即 。引申:设 , 复合成函数 , 则有 (2)认知()认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序,即从外向内分析:首先
5、由最外层的主体函数结构设出 ,由第一层中间变量 的函数结构设出 ,由第二层中间变量 的函数结构设出 ,由此一层一层分析,一直到最里层的中间变量 为自变量 x 的简单函数为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条:;()运用上述法则求复合函数导数的解题思路分解:分析所给函数的复合关系,适当选定中间变量,将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数;求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后,运用上述求导法则和基本公式求;还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数,并作以适当化简或整理。二、导数的应用1、函数的单调性(1)导数的符号与函数的单调性:一般地,设函数 在某
6、个区间内可导,则若 为增函数;若 为第 5 页 共 32 页减函数;若在某个区间内恒有 ,则在这一区间上为常函数。(2)利用导数求函数单调性的步骤()确定函数 的定义域;()求导数 ;()令 ,解出相应的 x 的范围当 时, 在相应区间上为增函数;当 时 在相应区间上为减函数。(3)强调与认知()利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域 D,并且解决问题的过程中始终立足于定义域 D。若由不等式 确定的 x 的取值集合为 A,由 确定的 x 的取值范围为 B,则应用;()在某一区间内 (或 )是函数 在这一区间上为增(或减)函数的充分(不必要)条件。因此方程 的根不一定是增、减区间的分
7、界点,并且在对函数划分单调区间时,除去确定 的根之外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点,它们也可能是增、减区间的分界点。举例:(1) 是 R 上的可导函数,也是 R 上的单调函数,但是当 x=0 时, 。(2) 在点 x=0 处连续,点 x=0 处不可导,但 在(-,0)内递减,在(0,+)内递增。2、函数的极值(1)函数的极值的定义设函数 在点 附近有定义,如果对 附近的所有点,都有 ,则说 是函数的一个极大值,记作 ;如果对 附近的所有点,都有 ,则说 是函数 的一个极小值,记作。第 6 页 共 32 页极大值与极小值统称极值认知:由函数的极值定义可知:()函数的极值点 是区间 内部
8、的点,并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得;()极值是一个局部性概念;一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值,并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值;()当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时,函数 在 内的极大值点,极小值点交替出现。(2)函数的极值的判定设函数 可导,且在点 处连续,判定 是极大(小)值的方法是()如果在点 附近的左侧 ,右侧 ,则 为极大值;()如果在点 附近的左侧 ,右侧 ,则 为极小值;注意:导数为 0 的不一定是极值点,我们不难从函数 的导数研究中悟出这一点。(3)探求函数极值的步骤:()求导数 ;()求方程 的实根及 不存在的点;考察 在上述方
9、程的根以及 不存在的点左右两侧的符号:若左正右负,则 在这一点取得极大值,若左负右正,则 在这一点取得极小值。3、函数的最大值与最小值(1)定理若函数 在闭区间上连续,则 在 上必有最大值和最小值;在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值。认知:()函数的最值(最大值与最小值)是函数的整体性概念:最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值;最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。()函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的(具有相对性),极值只能在区间内点取得;函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的(具有绝对性),最大(小)值可能是某个第 7 页
10、 共 32 页极大(小)值,也可能是区间端点处的函数值。()若 在开区间 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值。(2)探求步骤:设函数 在 上连续,在 内可导,则探求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下:( I )求 在 内的极值;( II )求 在定义区间端点处的函数值 , ;( III )将 的各极值与 , 比较,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值。引申:若函数 在 上连续,则 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此,如果仅仅是求函数的最值,则可将上述步骤简化:( I )求出 的导数为 0 的点及导数不存在的点(这两种点称为可疑点);( II )
11、计算并比较 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值,从中获得所求最大值与最小值。(3)最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本解题思路为:( I )认知、立式:分析、认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的函数关系;( II )探求最值:立足函数的定义域,探求函数的最值;( III )检验、作答:利用实际意义检查(2)的结果,并回答所提出的问题,特殊地,如果所得函数在区间内只有一个点 满足 ,并且 在点 处有极大(小)值,而所给实际问题又必有最大(小)值,那么上述极大(小)值便是最大(小)值。四、经典例题四、经典例题例例 1 1、设函数 在点 处
12、可导,且 ,试求(1) ;(2) ;第 8 页 共 32 页(3) ;(4) ( 为常数)。解:注意到 当 )(1) ;(2) =A+A=2A(3)令 ,则当 时 , (4) 第 9 页 共 32 页点评:注意 的本质,在这一定义中,自变量 x 在 处的增量 的形式是多种多样的,但是,不论 选择哪一种形式,相应的 也必须选择相应的形式,这种步调的一致是求值成功的保障。若自变量 x 在 处的增量为 ,则相应的 ,于是有 ;若令 ,则又有 例例 2 2、(1)已知 ,求 ;(2)已知 ,求 解:(1)令 ,则 ,且当 时, 。注意到这里 (2) 注意到 ,由已知得 第 10 页 共 32 页由、得
13、 例例 3 3、求下列函数的导数(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) 解:(1) (2) , (3) , (4) , (5) , 第 11 页 共 32 页(6) 当 时, ;当 时, 即 。点评:为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算,首先对函数式进行化简或化整为零,而后再实施求导运算,特别是积、商的形式可以变为代数和的形式,或根式可转化为方幂的形式时,“先变后求”的手法显然更为灵巧。例例 4 4、在曲线 C: 上,求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线 C 关于该点对称。解:(1) 当 时, 取得最小值-13又当 时, 斜率最小的切线对应的切点为 A(2,
14、-12);(2)证明:设 为曲线 C 上任意一点,则点 P 关于点 A 的对称点 Q 的坐标为 且有 将 代入 的解析式得,点 坐标为方程 的解 第 12 页 共 32 页注意到 P,Q 的任意性,由此断定曲线 C 关于点 A 成中心对称。例例 5 5、已知曲线 ,其中 ,且均为可导函数,求证:两曲线在公共点处相切。证明:注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合,设上述两曲线的公共点为 ,则有, , , , , 于是,对于 有 ; 对于 ,有 由得 ,由得 ,即两曲线在公共点处的切线斜率相等,两曲线在公共点处的切线重合两曲线在公共点处相切。例例 6 6、(1)是否存在这样的
15、k 值,使函数 在区间(1,2)上递减,在 (2,+)上递增,若存在,求出这样的 k 值; (2)若 恰有三个单调区间,试确定 的取值范围,并求出这三个单调区间。解:(1) 由题意,当 时 ,当 x(2,+) 时 ,第 13 页 共 32 页由函数 的连续性可知 ,即 整理得 解得 或 验证:()当 时, 若 ,则 ;若 , 则 , 符合题意;()当 时, ,显然不合题意。于是综上可知,存在 使 在(1,2)上递减,在(2,+)上递增。(2) 若 ,则 ,此时 只有一个增区间 ,与题设矛盾;若 ,则 ,此时 只有一个增区间 ,与题设矛盾;若 ,则 并且当 时, ;当 时, 综合可知,当 时, 恰有三个单调区间:减区间 ;增区间 点评:对于(1),由已知条件得 ,并由此获得 k 的可能取值,进而再利用已知条件对所得 k值逐一验证,这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例例 7 7、已知函数 ,当且仅当 时, 取得极值,并且极大值比第 14 页 共 32 页极小值大 4.(1)求常数 的值;(2)求 的极值。解:(1) ,令 得方程 在 处取得极值 或 为上述方程的根, 故有 ,即 又 仅当 时取得极值,方程 的根只有 或 ,方程 无实根, 即 而当 时, 恒成立, 的正负情况只取决于 的取值情况当