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1、1、3 傅氏变换的性质及其应用 【复习】【复习】傅氏变换：( )F= ( )f tj( )dtf t et+=, 傅氏逆变换：( )f t = 1 ( )Fj1( )d2tFe+=， 傅氏积分公式：jj1( )( )dd2tf tfee+=t（ 为( )f t的连续点） ， 常用的傅氏变换： （1） ( )1t=； （2） 0 0 ()i ttte=； （3） 12( ) =； （4） 0 02(ite) =； （5） 0sin t00j()() =+； （6） 0cos t=00()() +； （7）单位阶跃函数的傅氏变换为 0,0;( )10tu tt ( )u t1( )j =+； （8
2、）指数衰减函数（,0;( )0,tetf t= t）的傅氏变换为( )F=221j j =+ 常用的广义积分： （1）jd2(tet) +=； （2）0j() 0d2(tet ) += 一、傅氏变换的性质 一、傅氏变换的性质 这一节，我们将介绍傅氏变换的几个重要性质介绍性质之前，提出几点声明：为方便起见， 假定在这些性质中，凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件在证明这些性质时，不再重述这些条件并且从现在开始，为了方便编辑，下述傅氏变换记号“ ”改记为“F F ” 本节介绍的是古典意义下的傅氏变换的一些性质对于广义傅氏变换来说，除了象函数的积分 性质的结果稍有不同以外，其它性质在形
3、式上也都相同，但不同的是变换中的广义积分是按教材 （1.15）式来决定的，而不是普通意义下的积分值 1、线性性质 设线性性质 设11( )( )Ff t=F22( )( )Ff，t=F,， 为常数，则 为常数，则 （1）（1）1212( )( )( )( )f tf tFF+=+F2) td； ； （2） （2） 1 121( )( )( )(FFf tf+=+F证明： （1）j 1212( )( )( )( )tf tf tf tf t e+=+Ft jj 12( )d( )dttf t etf t et+=+12( )( )FF=+； 1（2）1j 12121( )( )( )( )d2t
4、FFFFe+=+F jjt 1211( )d( )d22tFeFe+=+12( )( )f tf t=+ 这个性质表明函数线性组合的傅氏（逆）变换等于各函数傅氏（逆）变换的线性组合 这个性质表明函数线性组合的傅氏（逆）变换等于各函数傅氏（逆）变换的线性组合 例 1、求下列函数的傅氏变换 （1）( )sin(5)3f tt=+【上节作业 Ex.12】 ； （2）符号函数1,0;sgn1,0.| |ttttt解： （1）13( )sin5 coscos5 sinsin5cos53322f tttt=+=+t， 故13( ) ( )sin5 cos5 22Ff tt=+FFFt 13j(5)(5)(
5、5)(5)22 =+ ( 3) (5)( 3) (5)2jj =+； （2）sgn2 ( ) 1tu t=( )sgn 2 ( )1Ftu t=FFF12( )2( )j =+2 j= 2、位移性质 设、位移性质 设( ) ( )Ff t=F，则 ，则 (1)(1)0 0 () ( )j tf ttef t=FF； ； (2)(2)01 0 ()( )ejtFf t=F 证明： （1）j 00 ()()edtf ttf ttt+=F0j()( )edu tf uu+=（令0ttu=） 00jjje( )edettu( )f uuf+=Ft； （2）1j 001 ()()ed2tFF+=F0j(
6、) 01( )ed()2utF uuu+=令 00jjj1e( )e de2ttutF uuf t +=( ) (1)表明:时间函数( )f t沿 轴向左或向右位移的傅氏变换等于t0t( )f t的傅氏变换乘以因子之0jet或0jet；(2)表明:频谱函数( )F沿轴向右或向左位移0的傅氏逆变换等于原来的函数( )f t乘以因子0ejt或0ejt 利用位移性质可以推导一些常用的傅氏变换如 00 0 ( )1 () ( )j tj ttttete= =FFF； 200 012( )12()jtjtee =FFF； ()0000 01cos22jtjt jtjteete +=+FFFFe 0012
7、()2()2 =+00 ()() =+ 例 2【课后作业 Ex.7】 、设( ) ( )Ff t=F，证明： 001 ( )cos ()()2f ttFF0=+F； 并由此求0 ( )cosu ttF 解：由 Euler 公式，得0000 01( )cos( )( )( )22jtjt jtjteef ttf tef tef t +=+ 从而00 00011 ( )cos( )( ) ()()22jtjtf ttef tef tFF=+=+FFF+， 再由1 ( )( )u tj =+F，可得 0 ( )cosu ttF00 00111() ()2()()jj =+022 0 ()()()2j
8、0 =+ 【附录 P146（17） 】 3、微分性质 （1）如果、微分性质 （1）如果( )f t在在(,上连续或只有有限个可去间断点上连续或只有有限个可去间断点, 且当且当| |时，则 时，则 ) +t +( )0f t ( ) ( )f tjf t=FF. 证：由傅氏变换的定义，并利用分部积分可得 jj( )( )eded( )ttf tf ttf+=Ft jj( )ej( )edttf tf t+=+t)0 (jf t=+F【利用无穷小与有界量的乘积】 ( )jf t=F 它表明一个函数的导数的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换乘以因子它表明一个函数的导数的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换乘以
9、因子j 3推论 若推论 若( )( )(1,2, )kft kn=?在(,上连续或只有有限个可去间断点，且 上连续或只有有限个可去间断点，且 )n +( )| |lim( )0ktft +=（）（）0,1,2,1k =?* *，则 ，则 ( )( )() ( )nnftjf t=FF （2） 设（2） 设( ) ( )Ff t=F，则 ，则 d( )j ( )dFt= Ff t 一般地，有 一般地，有 d( )(j)( )dn nn nFt= Ff t 证：jdd( )( )edddtFf tt+=jd ( )eddtf tt +=jd( )(e)ddtf tt += j( )(j e)dtf
10、 tttjj( )ed(j) (ttf tttf t+= = F+=)t 注：设( ) ( )Ff=F，由d( )j ( )dFt= Ff t，可得 1dd ( )( )j( )j ddtf tFF=F 例 3、求 ( )tu tF解：dd1( )j ( )j( )ddjtu tu t =+FF2211jj( )j =+ = +【附录 P146 （14） 】 4、积分性质 设当、积分性质 设当t时，时， +( )( )d0tg tf tt =，* 则 则 1( )d ( )jtf ttf t=FF 证：因d( )( )d( )dtg tf ttf tt=且，则由微分性质可得 ( )0()g t
11、t + ( )( )j( )j( )dtf tg tg tf tt ( )( )djtf tf tt=FF =FFFF* 为证明简单起见，这里附加了条件： “( )| |lim( )0(0,1,2,1)ktftkn +=?” 事实上，满足傅氏积分定理条件的函数( )( )kft，其附加条件必成立 0,1,2,k =?n* 当时，积分性质应改为lim( )d0ttf tt +( )( )d(0) ( )jtFf ttF =+F，这里( ) ( )Ff t=F具体见P49 例 6 4傅氏变换除了以上介绍的几种常用的性质外，还有：对称性质对称性质 ( )2()F tf=F，相似性质相似性质1 ()(
12、0)|f atFaaa=F，翻转性质翻转性质 ()()ftF=F【详见课后习题】以及乘积定理乘积定理、能量积分能量积分等等，其余这些性质由于时间关系，我们不再一一介绍，留待你们今后自学 最后，我们介绍傅氏变换的另一类重要性质卷积定理 5、卷积定理 卷积定理 (1)定义 若已知函数(1)定义 若已知函数1( )f t，2( )f t，则积分，则积分12( )()dff t+称为函数称为函数1( )f t与与2( )f t的的卷积卷积，记为，记为12( )( )f tf t，即 ，即 1212( )( )( )()df tf tff t+= 注：若当时，则0t ） ； 解：为指数衰减函数，其傅氏变
13、换为0,0;( )( ),0t ttg teu tet 解：所给积分方程可化为 022( )sin( )gtdf+=t。 从而，2( )f t为( )g的傅氏正弦逆变换。 故所给方程的解为 022( )( )( )sinsgf tf ttdt+=F 001sin sincos(1)cos(1) 2ttdttt dt=+ 01sin(1)sin(1) 211tt +=+1 sin(1)sin(1) 211 +=+2111sin()sin2 111=+=+。 例 9、求解积分方程 ( )( )( ) ()g th tfg td+=+， 其中、( )h t( )f t为已知函数，且、和( )g t( )h t( )f t的傅氏变换都存在。 解：所给方程可化为 (
