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1、1ADIADI 算法的算法的 MATLAB 编程应用实例编程应用实例胡坤1 ，任兰兰21 1ADIADI 算法的具体描述算法的具体描述ADI 算法又称交替方向隐格式，该算法主要考虑二维热传导方程的边值问题，模型如 下：,0,0( , ,0)( , )(0, , )( , , )( ,0, )( , , )0txxyyuuux yl tu x yx yuy tu l y tu xtu x l t 在上述模型中，取空间步长，时间步长，作两族平行于坐标轴的网线：1hM=0t将区域分割成个小矩形。, ,0,1,jkxxjh yykh j kML0, x yl2M具体步骤是将第 n 层到第 n+1 层计
2、算分为两步：（1）第一步： ，构造出差分格式为：1 2 ,1 2nj kxxyyu从n-n+ ，求u对向后差分, u 向前差分1111 2222 ,1,1,1,1 221 222 ,2-22= 2 1=()nnnnnnnn j kj kjkj kjkj kj kj knn xj kyj khhhuuuuuuuu（+）uu（2）第二步：，构造出差分格式1 2 ,1 2nj kxxyyu从n+-n+1，求u对向前差分, u 向后差分为：1111+11112222 ,1,1,1,1 221 2212 ,2-22= 2 1=()nnnnnnnn j kj kjkj kjkj kj kj knn xj
3、kyj khhh uuuuuuuu（+）uu其中1 211,1,1,0,1,2,()22nj kMnnn LL其中表示在t =t取值假定第 n 层的已求得，则由上述第一步可求出，这只需按行,n j ku1 2 ,nj ku解一些具有三对角系数矩阵的方程组；再由第二步求出，这(1,1)jML1 ,n j ku2只需按列解一些具有三对角系数矩阵的方程组。 (1,1)kML2 2以以 ADIADI 算法分析具体实例算法分析具体实例（1）考察例子21(),( , )(0,1) (0,1),0,4 (0, , )(1, , )0,01,0,( ,0, )( ,1, )0,01,0( , ,0)sinco
4、s.xxyyyyuuux yGtt uy tuy tytuxtuxtxtu x yxy 上述方程精确解为：）2 ( , , )exp()sincos8u x y ttxy（2）分析计算过程首先设差分(0,1, ),(0,1,),(0,1,)jknxjh jJykh kK tnnNLLL解为，则边值条件为：,n j ku0,0,1,1,0,0,1,0,1,nn kJ knnnn jjj Kj KuukKuuuujJLL初值条件为：.0 ,sincosj kjkuxy取空间步长，时间步长网比，用 ADI121 40hhh1 160021rh法分别计算到时间层.1t 根据边值条件：，已经知道第 0
5、列从n到n+1时，0,0,0,1,nn kJ kuukKL和第 K 列数值全为 0，故：第一步：，构造出差分格式为：1 2 ,1 2nj kxxyyu从n-n+ ，求u对向后差分, u 向前差分1111 2222 ,1,1,1,1 221 222 ,2-221=162 1=()16nnnnnnnn j kj kjkj kjkj kj kj knn xj kyj khhhuuuuuuuu（+）uu从而得到：，其中111 222 1,1,1,1111111(1)(1)321632321632nnnnnn jkj kjkj kj kj krrrrrruuuuuu31,2,1,1,2,1jJkKLL即
6、按行用追赶法求解一系列下面的三对角方程组：1 2 1,1 2 2,1 2 3,1 2 3,1 2 2,1 2 1,(1) (1)1111632 1111321632 11113216321111321632 1111321632 1113216nknknknJknJknJkJJrrrrrrrrrrrrrrrr OOOuuuuuu123321(1) 1(1) 1JJJJJf f ff f f 又根据边值条件得：，解出第 0 行和,0,1,1,0,1,nnnn jjj Kj KuuuujJL,0n ju第行.K,(0,1, )n j KujJL第二步：1 2 ,1 2nj kxxyyu从n+-n+
7、1，求u对向前差分构造出差, u 向后差分分格式为：1111+11112222 ,1,1,1,1 221 2212 ,2-221=162 1=()16nnnnnnnn j kj kjkj kjkj kj kj knn xj kyj khhh uuuuuuuu（+）uu从而得到：111 111222 ,1,11,1,111111(1)(1)321632321632nnnnnn j kj kj kjkj kjkrrrrrr uuuuuu其中1,2,1,1,2,1jJkKLL又根据边值条件得：，从而得到：,0,1,1,0,1,nnnn jjj Kj KuuuujJL其中,0,1,1,00nn jjn
8、n j Kj Kuuuu(0,1, )jJL再按列用追赶法求解一系列下面的三对角方程组：41 ,01 ,11 ,21 ,31 ,31 ,2111111321632 1111321632 11113216321111321632 1111321632 1111321632 11n jn jn jn jn j Kn j KK Krrrrrrrrrrrrrrrrrr MOOOuuuuuuu12343211 ,111 ,1KKnK j K KKn j KKffffffff Mu从而得到新的时间层的数值解.3.MATLAB3.MATLAB 编程实现上述实例编程实现上述实例clear clc a = 0;
9、 b=1; %x取值范围 c=0; d=1; %y取值范围 tfinal = 1; %最终时刻 t=1/1600;%时间步长； h=1/40;%空间步长 r=t/h2;%网比 x=a:h:b; y=c:h:d; %- %精确解 m=40; u1=zeros(m+1,m+1); for i=1:m+1,for j=1:m+1u1(j,i) = uexact(x(i),y(j),1);end end %数值解 u=ADI(a,b,c,d,t,h,tfinal); %- %绘制图像 figure(1); mesh(x,y,u1) figure(2); mesh(x,y,u)%误差分析5error=u
10、-u1; norm1=norm(error,1); norm2=norm(error,2); norm00=norm(error,inf); %- 编写编写 ADIADI 函数文件函数文件 % 用ADI法求解二维抛物方程的初边值问题 % u_t = 1/16（u_xx + u_yy）（0,1）*（0,1） % 精确解: u(t,x,y) = sin(pi*x) sin(pi*y)exp(-pi*pi*t/8) %-function u=ADI(a,b,c,d,t,h,tfinal )%(a , b) x取值范围%(c, d) y取值范围 %tfinal最终时刻 %t时间步长； %h空间步长 r
11、=t/h2;%网比 m=(b-a)/h;% n=tfinal/t; % x=a:h:b; y=c:h:d; %- %初始条件 u=zeros(m+1,m+1); for i=1:m+1,for j=1:m+1u(j,i) = uexact(x(i),y(j),0);end end %- u2=zeros(m+1,m+1); a=-1/32*r*ones(1,m-2); b=(1+r/16)*ones(1,m-1); aa=-1/32*r*ones(1,m); cc=aa;aa(m)=-1;cc(1)=-1; bb=(1+r/16)*ones(1,m+1); bb(1)=1;bb(m+1)=1;
12、 for i=1:n%-%从n-n+1/2,u_xx向后差分，u_yy向前差分for j=2:mfor k=2:md(k-1)=1/32*r*(u(j,k+1)-2*u(j,k)+u(j,k-1)+u(j,k);end6% 修正第一项与最后一项,但由于第一项与最后一项均为零，可以省略%d(1)=d(1)+u1(j,1);d(m-1)=d(m-1)+u1(j,m+1);u2(j,2:m)=zhuiganfa(a,b,a,d);endu2(1,:)=u2(2,:);u2(m+1,:)=u2(m,:);%-%从n-n+1,u_xx向前差分，u_yy向后差分for k=2:mdd(1)=0;dd(m+1)=0;for j=2:mdd(j)=1/32*r*(u2(j+1,k)-2*u2(j,k)+u2(j-1,k)+u2(j,k);endu(:,k)=zhuiganfa(aa,bb,cc,dd);end%-
