最新亚太数学奥林匹克竞赛试题(2010,2011,2012)

2010 年 APMO 试题时间：4 小时 每题 7 分1.已知中，点为的外心，为的外接圆.设与线ABCV90BACoOABCVBOCV段交于点(异于),与线段交于点(异于).设为圆的直径,证明四边ABPBACQCON形是平行四边形.APNQ2.若一个正整数能够表示成为的形式(其中均为正整数),则称该数为纯次方数.km,m kk证明对于任意正整数,都存在个不同的正整数,它们之和是一个纯 2009 次方数,它们nn 之积是一个纯 2010 次方数. 3.设是一个正整数.个人参加某一晚会.晚会中的任意两人要么相互认识,要么相互不认nn识.若两个互不相识的人,存在一个人与均相识,则称为一组有缘组,求,A BC,A B,A B这样的有缘组数最大可能值.4.已知中,,,分别表示的外心与垂心.设的ABCVABBCACBC,O HABCVAHCV外接圆与相交于(异于),的外接圆与相交于(异于).证明ABMAAHBVACNA 的外接圆心在上.MNHVOH5.求所有满足以下条件的函数,对于,均有:fRR, ,x y zR.( ( )( )( ))( ( )( ))(2( ))2 ()f f xf yf zf f xf yfxyf zf xzyz2011 年 APMO 试题时间：4 小时 每题 7 分1.证明：存在正整数使得均为完全平方数., ,a b c222,,abc bca cab 2.已知五个点在同一平面上且任意三点不共线，求所有角12345,,,,A A A A A中最小角的最大可能值.(15)ijkA A Aijk 3. 已知中，的内角平分线、外角平分线与分别交于点ABCV30BACoABCAC、，的内角平分线、外角平分线与分别交于点、，设分别与1B2BACBAB1C2C、为直径的圆在内的交点为.求证：.12B B12C CABCVP90BPCo4. 设是一个固定的正奇数.坐标平面上相异的个点n2m满足以下三个条件：011,,,(0,)mP PPmmZL(1)，的横坐标和纵坐标均是不小于 1 且不大于的整数；01(0,1),(1, )mPPnn(1)iPim n(2)对于，当 为偶数时，平行于轴；当 为奇数时，平行于,0iZim i1iiPPxi1iiPP轴；y(3)对于任意，线段和线段最多相交于 1 点；,,0i jZijm 1iiPP1jjP P求的最大可能值.m5.求满足以下两个条件的所有函数::fRR(1)，使得，都有成立；MRxR ( )f xM(2)对于任意实数对，都有( , )x y(( ))( )( )()f xf yyf xxf yf xy恒成立.2012 年 APMO 试题时间：4 小时 每题 7 分1.设为内的一点,、、的延长线分别与、、交于点、PABCVAPBPCPBCCAABD 、，若、、的面积均为 1，求证：的面积为 6.EFPFAVPDBVPECVABCV 2. 在一张方格表中的每一格都填上一个不小于 0 且不大于 1 的实数，用一2012 2012 条平行于方格表边界的线把方格表分割成两个长方形.假设对于所有的分割方法都至少 有一个长方形格子里的数之和不大于 1，求这个方格表所有格子里的数之和的最大值。

3.已知为素数，为正整数，求所有数对使得为整数.pn( , )p n1 1pnn p 4. 已知为锐角三角形.边上的高为，为中点，为的垂ABCVBCADMBCHABCV 心,的延长线与的外接圆交于，的延长线与的外接圆交于.MHABCVEEDABCVF 求证：.BFAB CFAC5.已知，求证：对于满足的所有都有,2nZ n222 12naaanL12,,,na aaRL.11 2ij nijn na a  。