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1、 2.1.5 利用最小势能原理建立有限元方程利用最小势能原理建立有限元方程 对结构中各单元进行分析后，应当对结构进行整体分析。整体分析的基本任务是建立整体刚度 方程，形成整体刚度矩阵和整体节点荷载向量。 根据每个节点处力(各相关单元的节点力和节点荷载)的平衡条件，可得到一组以节点位移分量 为未知量的代数方程组。从结构中取出一个节点 i，环绕节点 i 有若干个单元，节点 i 承受的节点荷载为 (图 2.1.10)，记为iiY ,X1i i iXRY。 图 2.1.10 节点 i 的平衡 单元作用于节点上的力与节点作用于单元上的节点力大小相等方向相反。取节点 i 为脱离体， 那么该节点在节点荷载和
2、各单元所施加的节点力之间保持平衡，即 iei eUX， iei eVY显然，与节点 i 无关的单元不进入上述求和式。如果把单元 e 对节点 i 的作用力记为 Te iieSUVie，则上式可用矩阵表示为 e i eS iR 每个节点都可列出如上所述的一组平衡方程。N 个节点，则可得到 2N 阶线性方程组 最小势能原理中的势能可以表示为 UW STVTVTdSpudVFudVD21对于离散后的每个单元,它的势能表达式是 eeeSTVTVTedSpudVFudVD21将及 eBy, x e ijmuNNNv 代入上式 106e eTeeeTeRk21（2143） 其中是单元刚度矩阵是单元刚度矩阵，
3、 eVTedVBDBk eeSTVTedSpNdVFNR是单元等效节点载荷列阵。是单元等效节点载荷列阵。 在平面问题中,若用 t 表示二维体的厚度,则上式重写为 eeeSTTeVTTeVeTTeedSpNtdxdyFNtdxdyBDB21 eeeSTTeVTTeVeTTedSpNtdxdyFNtdxdyBDB21（2144） 对于离散模型，系统位能是各单元位能的和，则得到离散模型的总位能 eSTTeeVTTeVeTTeeeeedSpNtdxdyFNtdxdyBDB21 eeTeVeTTeeRtdxdyBDBe21 eeTeeeTeeRk21（2145） 将单元结点位移 用整体结构结点位移e 表
4、示 eT （2146） 其中 1122T iinnuvuvuvuv 6 2001000000 000100000 000010000 000001000 000000100 000000010nT （2147） 其中 n 为结构的结点数。 将(2.1.46)(2.1.47)式一并代入(2.1.45)式，离散形式的总位能可表示为 107 eeTeeeTeeRk21 1 2TeTTTeeTkTTReT(2.1.48) 令令 称为结构整体刚度矩阵。称为结构整体刚度矩阵。 TeeKTk TeeRTR称为结构结点载荷列阵。称为结构结点载荷列阵。 (2.1.48)式就可以写作 RKTT21（2.1.49）
5、 离散形式的总位能的未知变量是结构的结点位移 ，根据变分原理，泛函取驻值的条件是它的一次变分为零，0，这样我们得到有限元的求解方程是 RK (2150) 其中结构整体刚度矩阵 和结构结点载荷列阵 TeeKTkT TeeRTR都是由单元刚度矩阵和单元等效结点载荷列阵 ek eR集合而成。式中 T为单元结点转换矩阵。 2.1.6 结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成 讨论了单元的力学特性之后，就可转入结构的整体分析。假设弹性体被划分为en个单元和 n 个节点，对每个单元按前述方法进行分析计算，便可得到en组形如式 ekRee的方程。将这些方程集合起来，就可得到表
6、征整个弹性体的平衡关系式。为此，先引入整个弹性体的节点位移列阵 12 n，它是由各节点位移按节点号码以从小到大的顺序排列组成，即 nn2112(2.1.51) 其中子阵 ii ivu 是节点 i 的位移分量。 108结构整体刚度矩阵 和结构结点载荷列阵 TeeKTkT TeeRTR式给出了结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵由单元刚度矩阵和单元等效结点载荷列阵集成的表达式。集成是通过单元结点转换矩阵 T实现的。现在我们来讨论它们的转换和集成。 1. 结构节点荷载集成 1. 结构节点荷载集成 用转换矩阵表示节点载荷列阵的集成 0000000000000 000000 00 000000ei Teeje
7、mIRTRRIRI 00000000e ieje mRRR (2152) 单元等效结点载荷包括体积力及面积力等的等效结点载荷。由(2152)式可见单元等效结点载荷列阵的转换是将单元结点载荷列阵的阶数扩大到与结构结点载荷列阵同阶，并将单元结点载荷按结点自由度顺序入位。它的物理意义是该单元的等效结点载荷对整个结构载荷列阵的贡献。 eRR经过这样的转换，就可以叠加相关的扩大后的矩阵得到的结构刚度矩阵和结点载荷列阵，即 K R TeeKTkT和 TeeRTR 在实际编程计算的过程中这个集成过程不是采用上述的矩阵相乘法进行的，在计算得到 ek，的各元素后，只需按照单元的结点自由度编码， “对号入座”地叠
8、加到结构刚度矩阵和结构载荷列阵的相应位置上即可实现。 eR109引入整个弹性体的载荷列阵，它是移置到节点上的等效节点载荷依节点号码从小到大的顺序排列组成，即 12 nR nn RRR112(2153) 其中子阵 eenee inee iiyix iVURRR11(2154) 现将各单元的节点力列阵 加以扩充，使之成为 2n1 阶列阵 16eR 2100TTTTeTeee ijmnRRRR (2155) 其中，子阵 e eix i iyRRR (轮换) , ,i j m是单元 e 对节点 i 上的等效节点力。 上式中的省略号处的元素均为零，矩阵号上面的 i，j，m 表示在分块矩阵意义下 Ri 所
9、占的列的 位置。此处假定了 i，j，m 的次序也是从小到大排列的，并且与节点号码的排序一致。各单元的节 点力列阵经过这样的扩充之后就可以进行相加，把全部单元的节点力列阵叠加在一起，便可得到弹 性体的载荷列阵，即 TT nTnee nRRRRe1112 (2156) 这是由于相邻单元公共边内力引起的等效节点力，在叠加过程中必然会全部相互抵消，所以只剩下 载荷所引起的等效节点力。 荷载集成的任务是形成整体节点荷载向量 12 nR。总的节点荷载包括集中力和体力、面力移置而成的等效荷载。集中力作用点通常都被取做节点，因此只要将给定的集中力直接送人 中的适当位置即可。例如在整体码为 i 的节点上沿 x
10、方向作用集中力 Q，则该集中力在 中的位置为 2i-1。 12 nR12 nR体力和面力按照等效的原则化成节点荷载。一般是先按单元移置，以后按节点叠加。例如，设单 元 e 的体力等效节点荷载向量已经得到，记为 112233Te xyxyxyRRRRRRR若该单元节点局部码 1，2，3 对应的整体码为 i，j，m，则2xR在 12 nR中的位置为 2j-1。 我们举例说明集成过程，设有单元 e，它的单元刚度矩阵和等效结点载荷阵分别为： 110 TeTeTeTe ijmRRRR该单元的结点码 i，j，m 分别为 3，8，2。扩大后的结点载荷列阵分别为： 01 2 3 00800e me iTeej
11、RRTRRn 它仅显示了该单元矩阵对结构整体矩阵的贡献。计算中的集成只需计算了单元矩阵元素后直接“对 号入座”地叠加到结构结构载荷列阵中即可： ： 1238eee mee iee je nRRRRRRRR (2157) R2.建立整体刚度矩阵 2.建立整体刚度矩阵 在实际有限元分析中，建立整体刚度矩阵最常用的方法是直接集成法直接集成法或直接刚度法直接刚度法，即直接由 单元刚度矩阵集合而成，其关键是把所有单元刚度矩阵的各元素安放到K中的适当位置。具体地说，就是将单元刚度矩阵 扩大成单元的贡献矩阵ek ek0；然后将各单元的 ek0直接相加得出。 K(1)分块集成 对于三角形单元，分块集成时需把 ek中的 6 个元素搬家，按照整体码的顺序在扩大后的矩阵中重新排列，并在空白处用零元素填补起来。一般地说，若单元 e 的局部码 1，2，3 分别对应于整 体码 I,J,M，且设 IJM，则该单元的贡献矩阵如式(2.1.58)所示。 111111213212223313233110000000000000000123eIJMNIkkkkJkkkMkkk
