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1、专题三：数列专题三：数列第三讲第三讲数列的综合应用数列的综合应用一、基础训练1（2011 湖北理 13）九章算术“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各 节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节 的容积为 升。【答案】67 662.（2009 重庆卷理）设12a ，12 1n naa，2 1n n naba，*nN，则数列 nb的通项公式nb= . 【答案】：2n+1【解析】由条件得11 1 112222222111nnn nn nnnaaabbaa a 且14b 所以数列 nb是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则114 22
2、nn nb3.（2009 湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： . 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图 2 中的 1，4，9，16这样的数成为正方形数。下列数中既时三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378【答案】C4.（2009 江西卷理）数列na的通项222(cossin)33nnnan，其前n项和为nS，则30S为A470 B490 C495 D510答案：A5.(2009 湖南卷理)将正ABC 分割成n2（n2，nN）个全等的小正三角形（图 2，图3 分别给出
3、了 n=2,3 的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别一次成等差数列，若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n)，则有 f(2)=2，f(3)= 10 3，f(n)= 1 6(n+1)(n+2) . 【答案】：10 1,(1)(2)36nn【解析】当 n=3 时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知1212121,abcxxab yybc zzca1212121221122()2,2xxyyzzabcgxyxzyz12121262()2gxxyyzza
4、bc . 即12121211110(3)13233gfabcxxyyzzg 而进一步可求得(4)5f。由上知(1)f中有三个数，(2)f中 有 6 个数，(3)f中共有 10 个数相加 ，(4)f中有 15 个数相加.，若(1)f n中有1(1)nan个数相加，可得( )f n中有1(1)nan个数相加，且由363331045(1)1,(2)(1),(3)(2),(4)5(3),.3333333fffffff 可得1( )(1),3nf nf n所以11113( )(1)(2).(1)3333333nnnnnnf nf nf nf=113211(1)(2)3333336nnnnn二、例题二、例
5、题考点考点 1 1 数列与函数、方程的综合数列与函数、方程的综合例题例题 1 1(2009 年广东卷文)（本小题满分 14 分）已知点（1，31）是函数, 0()(aaxfx且1a）的图象上一点，等比数列na的前n项和为cnf)(,数列nb)0(nb的首项为c，且前n项和nS满足nS1nS=nS+1nS（2n ）.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若数列11nnbb前n项和为nT，问nT20091000的最小正整数n是多少? . 【解析】（1） 113faQ, 1 3x f x 1113afcc , 221afcfc2 9 , 323227afcfc .又数列 na成等比数列，2 2 1
6、 34 2181 233 27aaca ，所以 1c ；又公比211 3aqa，所以12 1123 33nnna *nN ；1111nnnnnnnnSSSSSSSSQ 2n 又0nb ,0nS , 11nnSS；数列 nS构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列，111nSnn ， 2 nSn当2n ， 22 1121nnnbSSnnn ；21nbn(*nN)；（2）1 22 33 411111n nnTbbb bb bb bL1111 1 33 55 7(21)21nnK111 111 111111232 352 572 2121nnK 11122121n nn；由1000 212009n
7、nTn得1000 9n ，满足1000 2009nT 的最小正整数为 112.【 【变变式式训练训练】 】已知na的前 n 项和为 S =an +bn+c(nN ),其中 a、b、c 是常数，求证：na是n2等差数列的充要条件是 c=0.考点考点 2 2 数列与函数，不等式数列与函数，不等式例题例题 2. 2. (2009 山东卷理)（本小题满分 12 分）等比数列na的前 n 项和为nS， 已知对任意的nN ，点( ,)nn S，均在函数(0xybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上.（1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 22(log1)()nnbanN . 证明：对任意的
8、nN ，不等式12121111nnbbbnbbb成立解:因为对任意的nN,点( ,)nn S，均在函数(0xybr b且1, ,bb r均为常数的图像上.所以得n nSbr,当1n 时,11aSbr,当2n 时,111 1()(1)nnnnn nnnaSSbrbrbbbb ,又因为na为等比数列,所以1r ,公比为b,1(1)n nabb（2）当 b=2 时，11(1)2nn nabb, 1 222(log1)2(log 21)2n nnban则121 2nnbn bn,所以12121113 5 7212 4 62nnbbbn bbbnL . 下面用数学归纳法证明不等式12121113 5 7
9、2112 4 62nnbbbnnbbbnL成立. 当1n 时,左边=3 2,右边=2,因为322,所以不等式成立. 假设当nk时不等式成立,即12121113 5 72112 4 62kkbbbkkbbbkL成立.则当1nk时,左边=11212111113 5 721 232 4 6222kkkkbbbbkk bbbbkkL2223(23)4(1)4(1) 111(1) 1(1) 1224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk 所以当1nk时,不等式也成立. . 由、可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知nS求na的基本题型,并运用数学归纳法证明
10、与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.【 【变变式式训练训练】 】（2011 全国大纲理）设数列 na满足10a 且1111.11nnaa（）求 na的通项公式；（）设111,1.n n nnkn kabbSn记S证明：解：（I）由题设1111,11nnaa即11na是公差为 1 的等差数列。又1111,.11nnaa故所以11.nan （II）由（I）得11,11 111n nabnnnnnnn ，8 分11111()11.11nnnk kkSbkkn 12 分考点考点 3 3 运用数学归纳法证明关于正整数成立的问题运用数学归纳法证明关于正整数成立的问题例题例题 3. 3.(2009 陕
11、西卷理)（本小题满分 12 分）已知数列nx满足， * 1111,21n nxxnNx . 猜想数列 2nx的单调性，并证明你的结论；()证明：1 11 2|( )6 5n nnxx -| 。 证（1）由1n+1244 n112513 213821xxxxxx及得，由246xxx猜想：数列 2nx是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当 n=1 时，已证命题成立 （2）假设当 n=k 时命题成立，即222kkxx易知20kx，那么2321 2224 2123212311 11(1)(1)kk kk kkkkxxxxxxxx =22222122230(1)(1)(1)(1)kkkkkkxx xx
12、xx即2(1)2(1) 2kkxx也就是说，当 n=k+1 时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当 n=1 时，1211 6nnxxxx，结论成立当2n 时，易知11 11101,12,12nnn nxxxx ()na111 115(1)(1)(1)(1)212nnnn nxxxxx 1 1 1111 11(1)(1)nn nn nnnnxxxxxxxx 2n-1 11221n-1222 555 1 2 6 5nnnnxxxxxxK（）（）（）【 【变变式式训练训练】 】设na满足 a=a -na +1(nN ).当 a3 时，证明：对所有 n(nN ),有1n2 nn 1(1)
13、an+2;n(2)+。111 a211 ana1121三、练习巩固1.（2011 福建理 10）已知函数 f（x）=e+x，对于曲线 y=f（x）上横坐标成等差数列的三个 点 A,B,C，给出以下判断：ABC 一定是钝角三角形 ABC 可能是直角三角形 ABC 可能是等腰三角形 ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 A B C D 2.（2009 浙江文）设等差数列na的前n项和为nS，则4S，84SS，128SS，1612SS成等差数列类比以上结论有：设等比数列 nb的前n项积为nT，则4T， ， ，1612T T成等比数列3.3.（20102010湖南高考理科湖南高考理科4 4）若数列 na满足：对任意的nN，只有有限个正整数m使得man成立，记这样的m的个数为()na，则得到一个新数列()na例如，若数列 na是1,2,3, n ，则数列是0,1,
