《导数的应用(根,不等式,最值,凹凸)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数的应用(根,不等式,最值,凹凸)（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1( (十二十二) )利用函数的单调性与极值讨论方程根的存在性及个数利用函数的单调性与极值讨论方程根的存在性及个数例例 证明下列方程根的问题证明下列方程根的问题: : （1 1）证明方程有且仅有一个实根。0120cos40dtedtttxx证明：令dtedttxFtxx20cos401)(因为, 01)0(201400dtedttFt01)2(20042 0dtedttFt由根的存在定理知，在内至少有一个零点)(xF)2, 0(再证只有一个实根：因为，而，xexxFxsin1)(2cos41sin1, 10 , 112cos4xexx故，即在上单调增加。故结论得证。0)( xF)(xF),(（
2、2 2）设 在上连续，当时。证明若，则方程f),aax 0)(Kxf0)(af在上有且仅有一个实根0)(xf Kafaa)(,证明：由拉格朗日中值定理得使得 Kafaa)(, KfafKaffafKafaf)(1)()()()()(由，知。由连续函数的介值定理知：0)(afKf)(0)( Kafaf使;又因当时知 在上严格递 Kafaax)(,00)(0xfax 0)( xff Kafaa)(,增，故只有一个实根（3 3）设在上可导，若有实数 使，证明方程)(xf),(0)()(xfxf最多只有一个实根0)(xf证明：设，则，即在上递)()(xfexFxxexF)(0)()(xfxf)(xF)
3、,(减，故方程最多只有一个实根，从而方程最多只0)()(xfexFx0)(xf2有一个实根（4 4）设在上二阶可导，当时，)(xf),a, 0)(, 0)(afAafax 0)( xf证明方程在内有且只有一个实根0)(xf),a证明：因，所以单调减少。故当时0)( xf)(xf ax 0)()(afxf从而在上单调减少，所以方程在内最多只有一)(xf),a0)(xf),a个实根下面证明方程在内至少有一个实根：0)(xf),a，由泰劳公式),(ax2)(21)()()(axfaxafafxf )()(axafaf由知，存在使；在0)( af )()(lim,axafaf x),(1 ax0)(1
4、xf上利用根的存在性定理可得方程在内至少有一个实,1xa0)(xf),a根（5 5）研究方程的实根，axex)0(a解：令，则，得驻点，axexfx)(xexxf)1 ()(1x当时，故在内单调增加；当时，1x0)( xf)(xf) 1 ,( x1，故在内单调减少。所以是在内0)( xf)(xf), 1 ( aef1) 1 ()(xf),(的极大值也是最大值下面讨论与 轴的相对位置，由此可以讨论出的零点：) 1 (fx)(xf若，则无零点;若，则有唯一零点;若，0) 1 (1aef)(xf0) 1 (1aef)(xf0) 1 (1aef则由在内单调增加及知在内有唯一零点；)(xf) 1 ,(
5、)(limxf x)(xf) 1 ,(再由在内单调减少及知在内有唯一零点。)(xf), 1 ( axf x )(lim)(xf), 1 ( 综上所述，当时方程没有实根，当时方程有一个实根，当1 ea1 ea时方程有两个实根。1 ea（6 6）试确定方程根的个数，2axex并指出每个根所在的范围)0(a3解：若设，则，很难求驻点。因此可考虑将2)(axexfxaxexfx2)(方程变形为：（因不是方程的根）.设，则aexx20xaexxfx2)(，得驻点，易知在和上单调递增，)21 ()(2 xexxfx2x)(xf)0 ,(), 2( 在上单调递减。由，)2 , 0(0)(lim axf x
6、)(lim 0xf xaef4)2(2 )(limxf x故若，则，从而方程有一个根在内402ea 0)2(f)0 ,(若，则，从而方程有两个根，一个是，另一个在42ea 0)2(f2x内)0 ,(若，则，从而方程有三个根，分别在、42ea 0)2(f)0 ,()2 , 0(内), 2( 讨论下列方程的根讨论下列方程的根: :（1）证明方程只有一个实根，其中0cosxqpx10 q证明：设，由，及零点存在xqpxxfcos)( )(limxf x )(limxf x定理知至少有一个实根；又知单调递增，故得证0sin1)(xqxf（2）讨论方程的根) 1(,abxax解：设,)(bxaxfx,l
7、n)(baaxfxaaxfx2ln)( 若，由知，方程只有一个根;若，0b0)( xf0)(, 0)(ff0b因，方程无根0xa若，得唯一驻点，此时，0b0)( xf abxalnlog0abbabxfalnlogln)(0因，故是的唯一极小值点。又当，方程0)(0 xf0x)(xf0)(,ln0xfaeb有唯一根；当，方程无根；当，方程0)(,ln00xfaeb0)(,ln0xfaeb4有两个根（3 3）讨论方程的实根个数（）axx ln0. a解：设，则，易知在上递增、axxxf ln)(axxf1)(0)( af)(xf)1, 0(a 在上递减、在处取得极大值),1(aax111ln)1
8、(aaf若，即，无零点;若，即，有唯一一个零011lnaea1011lnaea1点ax1若，即，由知有两个零点011lnaea10,)(lim 0 xf x,)(lim xf x（4 4）设 是方程的大于 1 的根，其中，证明 011yytt2yyy1证明：设，由于在上，故1)(1yyxxxf), 1 ( 0) 1()(21yyxyyxxf在上严格递增。又因为)(xf), 1 ( 11111 yyyy yy yyf=1111 yy yyy 11111111 yeyyy当时，而；故由的严格递增性与2y0131 e yyf )(limxf x)(xf连续函数的介值性知，方程的大于 1 的根 在内0
9、11yyxx ,1 yy取到，即yy1（5 5）设，确定的值使方程存在正根0KK0 Kxarctgx证明：设，则，而在 0 点附近大于 0，kxarctgxxf)(0)0(fkxxf211)(即在 0 点附近严格递增，即 ，使，又，)(xf01x0)0()(1 fxf )(limxf x所以 ，使，得证012xx0)(2xf（6）证明方程有两个不同的实根0)1ln(arctanxx证明：令，通过求导数可知在上), 1(),1ln(arctan)(xxxxf)(xf0 , 1(递增，在上递减，在上 1 , 0), 1 5递增；又.0)(, 2ln4) 1 (0)0(,)01(ffff于是有两个根
10、：), 1 (, 021xx（7）讨论方程有三个不同实根的条件03qpxx证明：设),(,)(3xqpxxxf若为的三个根，则，使321xxx0)(xf:,2132211xxx即，由于，)()(21ff,31p0,32pp)(,)(ff必有，qppppf333)(01qppppf333)(01即（*）qpp 3320,332ppp由于上述推导过程可逆，故当满足（*）式时方程有qp,03qpxx三个不同实根（8）讨论方程有两个不同实根的条件0ln mxx证明：设), 0(,ln)(xmxxxf若方程有两个不同实根，则，使，210xx),(21xx01)(mf即；又有；因此有，即1m)(,)00(
11、ff01)1ln()1()(mmff。由于上述推导过程可逆，故当时方程有两个不同实em10em10根（9）设函数 在上可导且，证明方程至多有f),(0)()(xfxf0)(xf一个实根证明：设则故在上严格递),()(xfexgx, 0)()()(xfxfexgx)(xg),(增，所以方程至多有一个实根0)(xf（十三）利用函数的单调性证明不（十三）利用函数的单调性证明不 等式等式6例例 证明下列不等式：证明下列不等式：（1）证明|1| |1| |1| bb aa baba 证明：根据所证的不等式的特征，构造一个与之相似的辅助函数，设，因为，xxxf1)(0)1 (1)(2xxf所以单调增加，而
12、。故，)(xf|baba|)(|)(|)(|bfafbaf即 |1| baba |)|(|1| baba |)|(|1| baa |)|(|1| bab |1| |1| bb aa （2）证明不等式0,1)1ln(xxarctgxx思路思路：显然可利用函数的单调性，但直接证明有困难，, 01)1ln(xarctgxx因此可把不等式变成等价的问题（因为，再用arctgxxx)1ln()1 ()0x单调性进行论证。证明证明：设。则)(xFarctgxxx)1ln()1 (0, 0111)1ln()(2xxxxF因此在上递增，故。)(xF), 0 0)0()( FxF即，所以arctgxxx)1ln
13、()1 (0,1)1ln(xxarctgxx（3）设，证明eax , 0xaaaxa )(证明证明：不等式变成等价的问题，再用单调性进行axaxaaln)()ln(论证。（4） 设，证明ba 0ababab baa1lnln222证明证明：先证右边不等式：设，用单调性可得证axaxaxxflnln)(再证左边不等式：可设，用单调性可得)(2)ln)(ln()(22axaaxaxx证；也可以用拉格朗日中值定理证明7（5）证明：当时，20 xxxx sin2 证明证明：先证右边不等式：设，用单调性可得证. 再证xxxfsin)(左边不等式：法一、所证不等式等价于；设，则2sinxx 2sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf再令，则，故递减，即xxxxsincos)(0sin)(xxx)(x0)0()(x即，从而，得证0sincos)(2xxxx
