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1、多多项项式式恒恒等等定定理理在在初初等等数数学学中中的的应应用用T Th he e A Ap pp pl li ic ca at ti io on ns s o of f P Po ol ly yn no ommi ia al l I Id de en nt ti it ty y T Th he eo or re emm i in n E El le emme en nt ta ar ry y MMa at th he emma at ti ic cs s专 业: 数学与应用数学作 者: 指导老师: 学校二 I 摘摘 要要多项式恒等定理在多项式代数中占有重要地位. 它是多项式代数中一个重要定理
2、待定系数法的理论依据. 本文给出了多项式相等和恒等的定义与多项式恒等定理, 并介绍了利用多项式恒等定理证明组合恒等式, 进行多项式因式分解等初等数学中的几个方面的应用. 关键词: 多项式; 恒等; 多项式恒等定理; 待定系数法; 因式分解; 二项式定理II AbstractPolynomial Identity Theorem plays an important role in the polynomial algebra. It is an important algebraic polynomial theorem, and it is based on the theory for t
3、he undetermined coefficient method. In this paper, the definition of the same polynomials and Polynomial Identity Theorem have been given, and we introduced some applications of the polynomial identity theorem in elementary mathematics, such as using it to prove combinatorial identities and to facto
4、rize polynomial. Keywords: polynomial; identity; Polynomial Identity Theorem; undetermined coefficient method; factorization; Binomial Theorem 目录目录摘 要 .IAbstract .II0 引言 .11 多项式恒等定理的有关理论 .12 多项式恒等定理在初等数学中的应用 .42. 1 待定系数法.42. 2 在三角中恒等式中的应用 .72. 3 证明恒等式.82. 4 因式分解 .102. 5 多项式恒等定理解决二项式问题的应用 .12参考文献 .14
5、第 1 页, 共 14 页0 引言多项式恒等定理在多项式代数中占有非常重要的地位. 对于形式表达式, 多项式与恒等即: 除去系数为零的项外, 同次项系数全相等. 从函数的观点考察, )(xf)(xg数域上一个次数不超过的非零多项式在中至多有个根, 因此, 当取Pn)(xfPnx个不同的值时, , 那么一定有. 由此推出, 两个次数均不超过1n0)(xf0)(xf的多项式和, 如果对于的个不同的值, 都有, 那么n)(xf)(xgx1n)()(xgxf. 关于多项式恒等定理的一些研究见文3-5. 它不仅是待定系数法的理)()(xgxf论依据, 同时在初等数学中还有更广泛的应用. 在这篇文章中,
6、我们给出了多项式恒等定理相关的理论及证明, 并探讨它在初等数学中的应用.1 多项式恒等定理的有关理论定义 1 设是一非负整数. 形式表达式1n（1）,01 1axaxan nn n L其中全属于数域, 称为系数在数域中的一元多项式, 或者简称为数域naaaL,10PP上的一元多项式. P定义 2 如果在多项式与中, 除去系数为零的项外, 同次项的系数全相等, )(xf)(xg那么与就称为相等, 记为.)(xf)(xg)()(xgxf系数全为零的多项式称为零多项式, 记为 0. 定义 3 两个代数式恒等是指其中的文字用任何值代入时（当然要有意义）总是相等. 常用记号表示恒等. “定理 1 若数域
7、上的多项式恒等于零, 即, 则. P)(xf0)(xf0)(xf证明：对多项式（1）的次数用数学归纳法. n证定理对于成立. 1n第 2 页, 共 14 页设形如. 若对于的任意值, , 令, 则, 故)(xf01axax0)(xf0x0)0(0af；再令, 即, 故. 定理对于的情况成立. 00a1x01a)(0)(xxf1n（2）假设定理对于成立, 推证对于成立. 1 mnmn 设形如)(xf.01 1axaxam mm m L由于, 用代, 得0)(xfx2x. （3）01 1)2()2()2(axaxaxfm mm m L011 11222axaxaxam mmm mm L由（2）式,
8、 又可得. （4）011 12222)(2axaxaxaxfmmm mmm mmm L由于,故, . 0)(xf0)2(xf式-（3）式, 得.0) 12() 12(2) 12(202 2221 11 axaxamm mmm mmL上式左边是一个情形的多项式, 它恒等于零. 由归纳假定, 必须其所有系数都1 mn是零：, , , .0) 12(211 mma0) 12(2222 mmaL0) 12(0am于是, . 多项式, 化为. 令, 又得. 0021aaammL0)(xf0m mxa1x0ma定理 2 数域 P 上非零多项式)0()(011 1 nn nn naaxaxaxaxfL)0(
9、)(011 1 mm mm mbbxbxbxbxgL恒等的充要条件是. )()(xgxf证明：充分性. 即由推出. )()(xgxf)()(xgxf设, 即, 且对应系数相等. 那么和是同一个多项式, 当然)()(xgxfnm )(xf)(xg是恒等的. 第 3 页, 共 14 页必要性. 即由推出. )()(xgxf)()(xgxf若次数不等, 设, 让减去, 得mn )(xf)(xg. 0)()()(00111 1 bcxbaxbaxaxam mmm mn nLL等式左边是的多项式, 由于它恒等于零, 根据定理 1, , 与已知矛盾. 故x0na与次数相等：. 所以)(xf)(xgnm )
10、()()()()()(0)(00111 11011 1 baxbaxbaxbaxgxfaxaxaxaxfm mmm mmm mm m LL由定理 1, . 0, 0, 00011bababammmmL或 . 001111,babababammmmL所以 . )()(xgxf定理 3 多项式恒等定理：数域上两个多项式（或）的充P)()(xgxf)()(xgxf要条件是. nibaii, 1 , 0,L证明：根据定理 2, 的充要条件是. 只需证的)()(xgxf)()(xgxf)()(xgxf充要条件是. 由定义 1, , , 且同次项对应的系nibaii, 1 , 0,L)()(xgxfnm
11、数相等, 即. 反过来, ,nibaii, 1 , 0,Lnibaii, 1 , 0,L.0)()()()()(001 11 baxbaxbaxgxfn nnn nnL故.)()(xgxf特别的充要条件是. 0)(xfniai, 1 , 0,0L定理 4 中次多项式在数域中的根不可能多于个, 重根按重数计算. xPn)0( nPn本定理的证明过程参见参考文献2第 25 页. 第 4 页, 共 14 页定理 5 如果多项式的次数都不超过, 而它们对个不同的数)(),(xgxfn1n有相同的值, 即121,nL, , )()(iigf1, 2 , 1niL那么. )()(xgxf证明： 由定理的条
12、件, 有. 1, 2 , 1, 0)()(nigfiiL这就是说, 多项式有个不同的根. 如果那么它就一定)()(xgxf1n, 0)()(xgxf是一个次数超过的多项式, 由定理 3, 它不可能有个根. 因此, . n1n)()(xgxf因为数域中有无穷多个数, 所以上述结论表明, 多项式的恒等与多项式相等实P际上是一致的. 数域上的多项式既可以用形式表达式来处理, 也可以作为函数来处理. 定理 2、定理 3 和定理 5 从两个不同的方面阐述了多项式恒等的条件, 它们是等价的. 2 多项式恒等定理初等数学中的应用2.1 待定系数法定理 2 与定理 3 是多项式代数中一个重要方法待定系数法的理
13、论依据. 所谓待定系数法, 是假定一个多项式的等式成立, 某些未知的系数先形式的写出来, 再根据变量的某些特定数值或系数之间的关系, 列出以待定系数为未知量的方程组, 解这些方程组就可以得到所求的系数. 例 1 已知三次多项式在=-1, 0, 1, 2 时函数值分别为 1, 2, 3, 2, 试写)(xfx出这个多项式. 解： 令, 由条件可知dcxbxaxxf23)(第 5 页, 共 14 页 2248321dcbadcbaddcba解之得2,34, 0,31dcba所以. 234 31)(3xxxf例 2 若多项式cxcbaxcaxf)()33()(2与 axdxdbxg2) 1()()(3相等, 求, 并把多项式写出来. dcba,解：由条件知 acdcbacadb210330解之得57,56,57,53dcba所以. 56 52)()(
