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1、 中学教考网中学教考网 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 第 1 页 共 7 页导数应用的题型与方法导数应用的题型与方法一、专题综述一、专题综述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于 导数的学习，主要是以下几个方面: 1 1导数的常规问题： （1）刻画函数（比初等方法精确细微） ；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研 究平面曲线的切线） ；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简 便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。 2 2关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法 快捷简便。 3 3导数与解析几何
2、或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力 的一个方向，应引起注意 二、知识整合二、知识整合1导数概念的理解 2利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值 复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函 数的求导法则，接下来对法则进行了证明。 3 3要能正确求导，必须做到以下两点： （1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的 求导法则。 （2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量 求导。 4 4求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行： (1）适当选定中间变
3、量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个 变量对哪个变量求导） ；（3）把中间变量代回原自变量（一般是 x）的函数。 也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系 y=f()，=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)(y，中间变量对自变量求导)(x；最后求xy，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解求导回代。熟练以后， 可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。三、例题分析三、例题分析例例 1 1 11)(2xbaxxxxfy 在1x处可导，则a b 思路思路： 11)(2xbaxxxxfy 在1x处可导，必连续1)(lim 1 x
4、f xbaxf x )(lim 11) 1 (f 1ba2lim 0xyxaxyx0lim 2a 1b例例 2 2已知 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)=b，求下列极限： 中学教考网中学教考网 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 第 2 页 共 7 页（1）hhafhafh2)()3(lim 0； （2）hafhafh)()(lim20分析：分析：在导数定义中，增量x 的形式是多种多样，但不论x 选择哪种形式，y 也 必须选择相对应的形式。利用函数 f(x)在ax 处可导的条件，可以将已给定的极限式恒 等变形转化为导数定义的结构形式。解：解：（1）hhafafafhaf hhafhafhh
5、2)()()()3(lim2)()3(lim 00bafafhafhaf hafhafhhafaf hafhafhhhh2)( 21)( 23)()(lim21 3)()3(lim232)()(lim2)()3(lim0000（2） hhafhaf hafhafhh22020)()(lim)()(lim00)( lim)()(lim 0220 afhhafhafhh说明：说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等 价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。例例 3 3观察1)(nnnxx，xxcos)(sin，xxsin)(cos，是否可判断，可导的奇函数的导函
6、数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：解：若)(xf为偶函数 )()(xfxf 令)()()(lim 0xfxxfxxfxxxfxxf xxfxxfxf xx )()(lim)()(lim)( 00)()()(lim 0xfxfxxfx 可导的偶函数的导函数是奇函数另证：)()()( )(xfxxfxff 可导的偶函数的导函数是奇函数例例 4 4 （1）求曲线122xxy在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为2 221tttS，求 t=3 时的速度。分析：分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数 y=f(x)在0x处的导数就是曲线 y=f(x)在点),(00yxp处
7、的切线的斜率。瞬时速度是位移函数 S(t)对时间的导数。 中学教考网中学教考网 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 第 3 页 共 7 页解：解：（1）222222) 1(22 ) 1(22) 1(2xx xxxxy，0422| 1xy，即曲线在点（1，1）处的切线斜率 k=0因此曲线122xxy在（1，1）处的切线方程为 y=1（2）)2(12 2tttS tttttttt4214) 1(23242 27261112272 91| 3tS。例例 5 5 求下列函数单调区间（1）5221)(23xxxxfy （2）xxy12（3）xxky2)0(k （4）ln22xy解：解：（1）232xxy )
8、 1)(23(xx )32,(x),1 (U时0 y) 1,32(x 0 y )32,(，),1 ( ) 1,32(（2）221 xxy )0,(，),0(（3）22 1xky ),(kx),(kU 0 y),0()0,(kkxU 0 y ),(k，),(k )0,( k，),0(k（4）xx xxy14142 定义域为),0()21,0(x 0 y ),21(x 0 y例例 6 6求证下列不等式（1）)1 (2)1ln(222xxxxxx ),0(x（2）xx2sin )2,0(x 中学教考网中学教考网 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 第 4 页 共 7 页（3）xxxxtansin )2,
9、0(x证：证：（1）)2()1ln()(2xxxxf 0)0(f 011111)(2 xxxxxf )(xfy 为),0(上 ),0(x 0)(xf 恒成立 2)1ln(2xxx )1ln()1 (2)(2 xxxxxg 0)0(g0)1 (42 11 )1 (42441)(22222 xx xxxxxxg )(xg在),0(上 ),0(x 0)1ln()1 (22 xxxx恒成立（2）原式2sinxx令 xxxf/sin)( )2,0(x 0cosx 0tanxx 2)tan(cos)(xxxxxf )2,0(x 0)( xf )2,0(2)2(f xx2sin（3）令xxxxfsin2ta
10、n)( 0)0(fxxxxxxxf22 2 cos)sin)(coscos1 (cos2sec)()2,0(x 0)( xf )2,0( xxxxsintan 例例 7 7利用导数求和：（1）；（2）。分析：分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式1)(nnnxx，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解：解：（1）当 x=1 时， 中学教考网中学教考网 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 第 5 页 共 7 页；当 x1 时，两边都是关于 x 的函数，求导得即（2），两边都是关于 x 的函数，求导得。令 x=1 得，即。
11、例例 8 8设0a，求函数), 0()(ln()(xaxxxf的单调区间.分析：分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运 算能力. 解：解：)0(121)(xaxxxf. 当0, 0xa时 0)42(0)(22axaxxf.0)42(0)(22axaxxf（i）当1a时，对所有0x，有0)42(22aax.即0)( xf，此时)(xf在), 0( 内单调递增.（ii）当1a时，对1x，有0)42(22axax，即0)( xf，此时)(xf在（0，1）内单调递增，又知函数)(xf在 x=1 处连续，因此，函数)(xf在（0，+）内单调递增（iii）当10 a时，
12、令0)( xf，即0)42(22axax. 中学教考网中学教考网 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 第 6 页 共 7 页解得aaxaax122,122或.因此，函数)(xf在区间)122 , 0(aa内单调递增，在区间),122(aa内也单调递增.令0)42(, 0)(22axaxxf即，解得aaxaa122122.因此，函数)(xf在区间)122 ,12-2aaaa（内单调递减.例例 9 9已知抛物线42 xy与直线 y=x+2 相交于 A、B 两点，过 A、B 两点的切线分别为1l和2l。（1）求 A、B 两点的坐标； （2）求直线1l与2l的夹角。分析：分析：理解导数的几何意义是解决本例
13、的关键。解解 （1）由方程组, 2, 42xyxy解得 A(-2，0)，B(3，5)（2）由 y=2x，则4| 2xy，6| 3xy。设两直线的夹角为 ，根据两直线的夹角公式，2310 6)4(164tan 所以2310arctan说明：说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直 线的夹角公式有绝对值符号。例例 1010 （2001 年天津卷）设0a，xxea aexf)(是R上的偶函数。（I）求a的值； （II）证明)(xf在), 0( 上是增函数。解：解：（I）依题意，对一切Rx有)()(xfxf，即x xxx aeaeea ae1，0)1)(1(xx eeaa对一切Rx成立，由此得到01aa，12a， 又0a，1a。（II）证明：由xxeexf)(，得xxeexf)() 1(2xxee，当), 0( x时，有0) 1(2xxee，此时0)( xf。)(xf在), 0( 上是增函数。 中学教考网中学教考网 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 第 7 页 共 7 页四、四、0404 年高考导数应用题型集锦年高考导数应用题型集锦 1 （全国卷 10）函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是
