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1、九年级数学竞赛明快简捷九年级数学竞赛明快简捷构造方程的妙用讲座构造方程的妙用讲座有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是： 1利用根的定义构造当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根2利用韦达定理逆定理构造若问题中有形如 ， 的关系式时，则 、 可看作方程 的两实根3确定主元构造对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效
2、果注： 许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条，以已知条为素材，以 所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法【例题求 解】【例 1】 已知 、 是正整数，并且 ， ，则 思路点拨 ，变形题设条，可视 、 为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解【例 2】 若 ，且有 及 ，则 的值是( ) A B D 思路点拨 第二个方程可变形为 ，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手【例 3】 已知实数 、 满足 ，且 ，求
3、的取值范围思路点拨 由两个等式可求出 、 的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间【例 4】 已知实数 、 、 满足 ， (1)求 、 、 中最大者的最小值；(2)求 的最小值思路点拨 不妨设 ab，a，由条得 ， 构造以 b、为实根的一元二次方程，通过0 探求 的取值范围，并以此为基础去解(2)注： 构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判 别式0，建立含参数的不等式，缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用【例】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数 (2003 年全国初
4、中数学联赛试题)思路点拨 设前后两个二位数分别为 ， ，则有 ，将此方程整理成关于 (或 )的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定 (或 )的取值范围 学历训练1若方程 的两个实数根的倒数和是 ，则 的取值范围是 2如图，在 RtAB 中，斜边 AB，DAB，已知 B、A 是一元二次方程 的两个根，则的值是 3已知 、 满足 ， ，则 = 4已知 ， ， ，则 的值为( )A2 B-2 -1 D 0 已知梯形 ABD 的对角线 A 与 BD 相交于点，若 SAB4，SD9，则四边形 ABD 的面积 S 的最小值为( )A21 B 2 26 D 36 6如图，菱形 A6D 的边长是，
5、两条对角线交于点，且 A、B 的长分别是关于 的方程的根，则的值为( )A一 3 B 或一 3 n 一或 37已知 ， ，其中 、 为实数，求 的值8已知 和 是正整数，并且满足条 ， ，求 的值9已知 ， ，其中、n 为实数，则 10如果 、 、 为互不相等的实数，且满足关系式 与 ，那么 的取值范围是 11已知 ， 则 = ， = ；12如图，在 RtAB 中，AB90，Ab，AB，若 D、E分别是 AB 和 AB 延长线上的两点，BD=B，ED，则以 AD 和 AE的长为根的一元二次方程是 13已知 、 、 均为实数，且 ， ，求 的最小值14设实数 、 、 满足 ，求 的取值范围1如图，梯形 ABD 中，ADB，ADAB， ，梯形的高 AE= ，且 (1)求 B 的度数；(2)设点为梯形对角线 A 上一点，D 的延长线 与 B 相交于点 F，当 ，求作以 F、DF 的长为根的一元二次方程 16如图，已知AB 和平行于 B 的直线 DE，且BDE 的面积等于定值 ，那么当 与BDE 之间满足什么关系时，存在直线 DE，有几条? 参考答案
