等腰三角形中的分类讨论思想

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1、等腰三角形中的分类讨论思想等腰三角形中的分类讨论思想分类思想是解题的一种常用思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性， 学生只有掌握了分类的思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况.在学习等腰三角形的性质和判定时， 分类讨论的思想尤为重要，希望同学们谨记心间，现举几例予以说明：一、由于题目条件的不确定性引发结论不唯一：例 1、已知等腰三角形的一个内角为 65则其顶角为（ ） A. 50 B. 65 C. 115 D. 50或 65 解析：65角可能是顶角，也可能是底角。当 65是底角时，则顶角的度数为 180652=50；当 65角是顶角时，则顶角的度数就等于 65。所以这个

2、等腰三角形的顶角为 50或 65。故应选 D。提示：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个 已知角是顶角还是底角，再求解。例 2、 已知等腰三角形的一边等于 3，另一边等于 4，则它的周长等于_。解析：已知条件中并没有指明 3 和 4 谁是腰长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当 3 是 腰长时，这个等腰三角形的底边长就是 4，此时等腰三角形的周长等于 10；当 4 是腰长时，这个三角形 的底边长就是 3，则此时周长等于 11。故这个等腰三角形的周长等于 10 或 11。提示：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三

3、角形三边关 系的前提下分类讨论。例 3、 若等腰三角形一腰上的中线分周长为 12cm 和 9cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。解析：已知条件并没有指明哪一部分是 9cm，哪一部分是 12cm，因此，应有两种情形。若设这个等腰三角形的腰长是 xcm，底边长为 ycm，可得 或 解得 或即当腰长是 6cm 时，底边长是 9cm；当腰长是 8cm 时，底边长是5cm。提示：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。 二、由于题目条件得出的图形不确定性引发结论不 唯一： 例 4、 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹 角为 55，求这个等腰三角形的顶角的度数。 解析：依题意可画出图 1 和图

4、2 两种情形。图 1 中 顶角为 35，图 2 中顶角为 145。 例 5、 皂户李中学为美化环境，计划在校园的广场用的草皮铺设一块一边长为 10的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。解析：在等腰 ABC 中，设 AB=10，作 CDAB 于 D，由，可得 CD=6。如下图，当 AB 为底边时，AD=DB=5，所以。 如下图，当 AB 为腰且 ABC 为锐角三角形时，所以，。如下图，当 AB 为腰且 ABC 为钝角三角形时， ，所以。 提示：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角 形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。 例 6、在 ABC 中，AB=AC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 45，则底角B=_。解析：按照题意可画出如图 1 和如图 2 两种情况的示意图。如图 1，当交点在腰 AC 上时，ABC 是锐角三角形，此时可求得A=45，所以B=C=（18045）=67.5。 如图2，当交点在腰 CA 的延长线上时，ABC 为钝角 三有形，此时可求得BAC=135，所以B=C=（180135）=22.5故这个等腰三角形的底角为 67.5或 22.5。