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1、上海市尚德实验学校 杨晓 Email:初一数学竞赛系列讲座(10)应用题（二） 一、知识要点 1、工程类问题工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系。它们满足如下 基本关系式：工作效率工作时间=工作总量解工程问题时常将工作总量当作整体“1” 2、溶液类问题溶质：能溶解到溶剂中的物质。如盐、糖、酒精等。溶剂：能溶解溶质的物质。如水等。溶液：溶质和溶剂的混合体。如盐水、糖水、酒精溶液等。溶液的浓度：指一定量溶液中所含溶质的量，经常用百分数表示。浓度的基本算式是：%100溶液量溶质量浓度二、例题精讲 例 1 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如 果用两
2、台抽水机抽水，40 分钟可抽完；如果用 4 台抽水机抽水，16 分钟可抽完，如果要 在 10 分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台。(1999 年全国初中数学联合竞赛试 题) 解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为 a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为 b 立 方米，又设每台抽水机每分钟可抽水 c 立方米，由条件可得：解得 cbacba 1641640240cbca323160如果要在 10 分钟内抽完水，那么至少需要抽水机的台数为：610320 31601010 ccccba评注：本题设了三个未知数 a、b、c，但只列出两个方程。实质上 c 是个辅助未知 数，在解方程时把 c 视为常数，解出 a
3、，b(用 c 表示出来)，然后再代入求出所要求的结果。例 2 甲、乙、丙三队要完成 A、B 两项工程。B 工程的工作量比 A 工程的工作量多 25%，甲、乙、丙三队单独完成 A 工程所需的时间分别是 20 天、24 天、30 天。为了共上海市尚德实验学校 杨晓 Email:同完成这两项工程，先派甲队做 A 工程，乙、丙二队做 B 工程；经过几天后，又调丙队 与甲队共同完成 A 工程。问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试题) 解：设乙、丙二队合作了 x 天，丙队与甲队合作了 y 天。将工程 A 视为 1，则工程 B 可视为 1+25%=5/4，由题意得：，由此可解得 x=15 150
4、59605345 2430241203020 yxyx yxxyyx去分母得答：乙、丙二队合作了 15 天 评注：在工程问题中，如果工作总量不是一个具体的量，常常将工作总量视为 1。例 3 牧场上的草长得一样地密，一样地快。70 已知 70 头牛在 24 天里把草吃完， 而 30 头牛就可吃 60 天。如果要吃 96 天，问牛数该是多少？ 解：设牧场上原来的草的问题是 1，每天长出来的草是 x，则 24 天共有草1+24x，60 天共有草 1+60x，所以每头牛每天吃6030601 2470241 xx去分母得: 30(1+24x)=28(1+60x) 960x=2x=(头)16001 247
5、02414801x则每头牛每天吃，96 天吃完，牛应当是2016001964801961 例 4 某生产小组展开劳动竞赛后，每人一天多做 10 个零件，这样 8 个人一天做的零件超 过了 200 只。后来改进技术，每人一天又多做 27 个零件。这样他们 4 个人一天所做的零 件就超过劳动竞赛中 8 个人做的零件。问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几 倍？ 解：设劳动竞赛前每人一天做 x 个零件，由题意得解得 15x17 10)8(x27)104(x20010)(x8因为 x 是整数，所以 x=16，而(16+37)163.3 故改进技术后的生产效率约是劳动竞赛前的 3.3 倍。 评注：本
6、题所列的是不等式组，不能列成方程。例 5 某中学实验室需要含碘 2%的碘酒，现有含碘 15%的碘酒 350 克，问应加纯酒精多 少克？ 分析：配比前后碘的含量相同。上海市尚德实验学校 杨晓 Email:解：设稀释时需加纯酒精 x 克，则稀释后有碘酒(350+x)克，由题意得：(350+x)2%=35015% 解之得 x=2275 答：应加纯酒精 2275 克。 评注：浓度配比问题的相等关系一般是配比前后未发生改变的量，或溶质量不变，或溶 剂量不变。所列方程的一般形式是各分量=总量。例 6 在浓度为 x%的盐水中加入一定重量的水，则变成浓度为 20%的新溶液，在此新溶液 中再加入与前次所加入的水
7、重量相等的盐，溶液浓度变成 30%，求 x 解：设浓度为 x%的盐水为 a 千克，加水 b 千克，则由题意得 (2) %301%201(1) %20%bbababaxa由(2)得 8 (a+b)=7 (a+2b) 即 a=6b 代入(1)得 6bx=140b 3123x答：x 为3123例 7 从两个重量分别为 7 千克和 3 千克，且含铜百分数不同的合金上切下重量相等的两 块，把切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两块合金含铜百分数相等， 求所切下的合金的重量是多少？ 解：设重量为 7 千克的合金的含铜百分数为 x，重量为 3 千克的合金的含铜百分数为 y，切下的合金的重量是 z
8、千克，由题意得： 77 33yzxzyzxz(21-10z) x=(21-10z) y (21-10z) (x-y)=0 xy 21-10z=0 z=2.1 答：所切下的合金的重量是 2.1 千克.例 8 甲、乙、丙三个容器中盛有含盐比例不同的盐水。若从甲、乙、丙中各取出重量相 等的盐水，将它们混合后就成为含盐 10%的盐水；若从甲和乙中按重量之比为 2：3 来取， 混合后就成为含盐 7%的盐水；若从乙和丙中按重量之比为 3：2 来取，混合后就成为含 盐 9%的盐水。求甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数。 分析：题设中有三种混合方式，但每种混合方式从各个容器中取出的盐水的重量都是未 知的，我
9、们可以引进辅助未知数，将这些量分别用字母表示。 解：设甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为 x%、y%、z% 第一次混合从甲、乙、丙三个容器中各取出 a 克盐水，则有a x%+ a y%+ a z%=3a10% 从甲和乙中按重量之比为 2：3 来取盐水时，设从甲中取盐水 2m 克，从乙中取盐水上海市尚德实验学校 杨晓 Email:3m 克，则有 2m x%+ 3m y%=(2m +3m)7% 从乙和丙中按重量之比为 3：2 来取盐水时，设从乙中取盐水 3n 克，从丙中取盐水 2n 克，则有 3n y%+ 2n z%=(3n+2n)9% 将上面三式消去辅助未知数得：155104523353
10、230zyxzyyxzyx解得答：甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为 10%、5%、15% 评注：本题中我们假设的未知数 a、m、n 不是题目所要求的，而是为了便于列方程 而设的，这种设元方法叫做辅助未知数法，辅助未知数在求解过程中将被消去。例 9 组装甲、乙、丙 3 种产品，需用 A、B、C3 种零件。每件甲需用 A、B 各 2 个；每 件乙需用 B、C 各 1 个；每件丙需用 2 个 A 和 1 个 C。用库存的 A、B、C3 种零件，如 组装成 p 件甲产品、q 件乙产品、r 件丙产品，则剩下 2 个 A 和 1 个 B，C 恰好用完。求 证：无论怎样改变生产甲、乙、丙的件数，也
11、不能把库存的 A、B、C3 种零件都恰好用 完。 （1981 年全国高中数学竞赛题） 解：由已知，库存的 A、B、C3 种零件的个数分别为： A 种 2p+2r+2 件，B 种 2p+q+1 件，C 种 q+r 件。 假设生产甲 x 件，乙 y 件，丙 z 件恰好将 3 种零件都用完，则由题意得：)3( )2( 122) 1 ( 22222rqzyqpyxrpzx(1)+(3)-(2)得：3z=3r+1 它的左边是 3 的倍数，而右边却是 3 的倍数加 1，矛盾，不 成立，所以不能把库存的 A、B、C3 种零件都恰好用完。 评注：本题列出方程组后，没有解出 x、y、z，而导出矛盾，而是巧妙地通
12、过方程的加减 得出矛盾式 3z=3r+1，从而得出结论。所以有些数学问题应从整体上来把握解法。三、巩固练习 选择题 1、有酒精 a 升和水 b 升，将它们混合后取出 x 升，这 x 升混合液中含水( ) 升A、 B、 C、 D、bab baa baax babx 2、一件工作，甲、乙、丙合作需 7 天半完成；甲、丙、戊合作需 5 天完成；甲、丙、 丁合作需 6 天完成；乙、丁、戊合作需 4 天完成，那么这 5 人合作，( )天可以完成 这件工作。 A、3 天 B、4 天 C、5 天 D、7 天上海市尚德实验学校 杨晓 Email:3、某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了 20，若八月份产
13、品要达到六月 份的产量，则八月份的产量比七月份要增加（ ） A、20 B、25 C、80 D、75 4、两个相同的瓶子中装满了酒精溶液，第一个瓶子里的酒精与水的体积之比为 a:1，第一个瓶子为 b:1，现将两瓶溶液全部混和在一起，则混和溶液中酒精与水的体积之 比是( ) (安徽省初中数学联赛试题)A、 B、 C、 D、2ba 12 baab 22 baabba 24 baabba5、某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且完成该任务后才能执行下一项任 务，现有 U，V，W 的时间分别为 10 秒，2 分和 15 分，一项任务的相对等待时间为提交任 务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的
14、时间之比，则下面四种执行顺序中使 三项任务相对等候时间之和最小的执行是（ ） 。 （A）U，V，W （B）V，W，U （C）W，U，V （D）U，W，V 6、咖啡 A 与咖啡 B 按 x: :y(以重量计)的比例混合。A 的原价为每千克 50 元，B 的原 价为每千克 40 元，如果 A 的价格增加 10%，B 的价格减少 15%，那么混合咖啡的价格保持 不变。则 x: :y 为( ) A、5：6 B、6：5 C、5：4 D、4：5 填空题 7、因工作需要，对甲、乙、丙三个小组的人员进行三次调整，第一次丙组不动，甲、 乙两组中的一组调出 7 人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调出 7 人给 另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的一组调出 7 人给另一组，三次调整后，甲组 有 5 人，乙组有 13 人，丙组有 6 人。则各组原有人数为 8、A、B、C、D、E 五个人干一项工作，若 A、B、C、D 四人一起干，8 天可完工； 若 B、C、D、E 四人一起干，6 天可完工；若 A、E 二人干，12 天可完工，则 A 一个人 单独干 天可完工。 9、某车间共有 86 名工人，已知每人平均每天可加工甲种部件 15 个，或乙种部件 12 个，或丙种部件 9 个，要使加工后的部件按 3 个甲种部件，2 个乙种部件和
