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1、矩阵理论及其应用CQU第十二讲 矩阵分解(2)李东重庆大学 数学与统计学院本节内容2CQU矩阵的最大秩分解矩阵的QR分解本节内容3CQU矩阵的最大秩分解矩阵的QR分解矩阵的最大秩分解4CQU上节讨论的是方阵的分解，现在介绍一般矩阵（长矩阵）的分解。目标：将矩阵 分解成两个与A同秩的矩阵的乘积。定理6.3.1 设 ,且rank(A)= min(,)，经过有限次初等行变换可把A化成如下矩阵：矩阵的最大秩分解5CQU=12 001 0 0 000001 0 000000001 00000000000 00000000000行 行其中1 1 0( =1,2,)。记 = 10,20,0, =11121
2、0222 0 0 ，令 = ,则 = ， = 。 矩阵的QR分解22CQU由于最大秩分解 = 不唯一，于是 = 也不唯一，但限制条件后，QR分解是唯一的。推论1 设A ，() = ，则可以唯一地分解为 = 其中 ,且 = , 为具有正对角元素的上三角阵。证明：将A的列向量正交化、标准化，可得 = 。矩阵的QR分解23CQU若、满足条件，下证明唯一性。假设存在两组分解A = 和 = 11，则 = 111= 1 = 11是具有正对角元素的r级上三角阵。由于 = 11 = = 。说明为酉阵，则 =。于是1= , 1= 。矩阵的QR分解24CQU推论2 设A ，() = ，则可以唯一地分解为 = 其中
3、 ,且 = , 为具有正对角元素的下三角阵。利用共轭转置+推论1可以得出证明。矩阵的QR分解25CQU例2 求A =112 121 1 21 33 3的QR分解。解：由于rank(A)=3,所以最大秩分解中 = , = .取1= (1,1,1,2), 2= (1,2,1,3), 3= (2,1,3,3)，将其标准正交化(i) 10=1 |1|=1 |1|= (1 7,1 7,1 7,2 7)矩阵的QR分解26CQU(ii) 2=2 (2,10)10=(1,2,1, 3)10 7(1 7,1 7,1 7,2 7)= 3 7,4 7,3 7,1 7故 20=2 |2|= (3 35,4 35,3 35,1 35)。类似可得3= 2 5,1 5,3 5, 1 5，30= (2 15,1 15,3 15,1 15).矩阵的QR分解27CQU所以 = 10,20,30=1 73 352 15 1 74 351 15 1 7 2 73 35 1 353 15 1 15，对比（P24,2.4）可得矩阵的QR分解28CQU =|1|(2,10)(3,10)0|2|(3,20)00|3|=710 712 7035 78 350015 5于是 = =710 712 7035 78 350015 5.本节习题29CQUP149：3 4(只做3(1)
