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1、矩阵理论及其应用CQU第十一讲 矩阵分解(1)李东重庆大学 数学与统计学院本节内容2CQU方阵的三角分解方阵的谱分解本节内容3CQU方阵的三角分解方阵的谱分解方阵的三角分解4CQU一、高斯消元法问题：求解线性方程组 = .基本思路：首先将A化为上三角阵，再回代求解。例1 解方程组解: 第一步,第一个方程乘-2加到第二个方程；第一个方程 乘-1加到第三个方程,得到1+ 22+ 33= 1 21+ 72+ 53= 6 1+ 42+ 93= 3=方阵的三角分解5CQU1+ 22+ 33= 1 32 3= 4 22+ 63= 4 第二步,第二个方程乘-2/3加到第三个方程得到1+ 22+ 33= 1
2、32 3= 4 20 33= 20 3回代:解第三个方程得3,将3代入第二个方程得2,将2, 3代入第一个方程得1,得到解x= 2,1,1。方阵的三角分解6CQU容易看出第一步和第二步相当于增广矩阵:b在作行变换，用ri表示增广阵A: b的第i行，则变换过程如下。: = 123 275 1491 6 32=221 3=31123 031 0261 4 43=3232123 031 0020 31 4 20 3方阵的三角分解7CQU二、高斯消元法的矩阵形式记(0)= ，为A的k阶顺序主子式。Step 1: 若1 0(110)，将第一行111（记21=111）倍加到第i行，使得第一列除11外的其它
3、元素变为0，即令11=100 2110 101，则(1)= 11(0)=11(0)12(0)1(0)022(1)2(1) 02(1)(1).方阵的三角分解8CQU即(0)= 1(1),其中1=100 2110 101。Step r:若 0(1) 0)，将第行(1)(1)（记 r=(1)(1), = + 1,）倍加到第i行，使得第r列(1)以下的其它元素变为0，即令方阵的三角分解9CQU1=1000 0100 10 00(+1)(1)(1)0 00(1)(1)1,实施行变，得()= 1(1)=110101+1010 1+111+1+1+1 +1方阵的三角分解10CQUStep n-1:继续实施行
4、变，得则完成了消元的过程。而消元法能进行下去的条件是 0 = 1,2, 1 。1= 112=1101201022121 1方阵的三角分解11CQU三、矩阵的三角分解(LU分解与LDU分解)小结高斯消元法的矩阵形式，不难看出 = 0= 11= 122= = 12311容易求出 = 121=1 211 (1)1(1)21 12(1)1。方阵的三角分解12CQU令 = 1，则 = 以上将A分解成一个单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，就称为LU分解。定义6.1 如果方阵A可以分解成一个下三角阵L和一个上三角阵U的乘积，称A可以做三角分解或LU分解。注：根据三角分解的定义，显然这样的分解不唯一(?)。方
5、阵的三角分解13CQU如何限定，使得三角分解唯一？可以采用如下的方法将分解完全确定，即要求下面任何一种。 L为单位下三角矩阵 或 U为单位上三角矩阵 或借助如下定理。定理6.1.1 将A分解为LDU，其中L，U分别为单位下三角阵，单位上三角矩阵，D为对角阵 = diag1,2,(= 1, = 1,2, 0= 1)。则称此分解为LDU分解，且唯一。方阵的三角分解14CQU利用定理6.1.1对A做三角分解，即 = = 1 = 且唯一。讨论：有没有其它方法得到矩阵A的LDU分解？ = 将U的对角元素抽取形成D，得到 = (= /)。推论 n阶非奇异方阵A有三角分解 = 的充分必要条件是A的1n-1阶
6、顺序主子式不等于0. 方阵的三角分解15CQU例1 求矩阵 =213 121 242的LU分解。过程见教材。定理 6.1.2 设n阶非奇异方阵A，则存在置换矩阵P，使PA的n个顺序主子式非零。推论 设n阶非奇异方阵A，则存在置换矩阵P，使PA=LDU。讨论两个问题：1.定理和推论意义在哪里？2.三角分解的意义？方阵的三角分解16CQU四、矩阵的拟LU分解与拟LDU分解(略讲)设 ,将A分块 =1112 2122，如果11非奇异，则构造下三角阵1=10 211112,左乘A，得到10 2111121112 2122=1112 022 2111112方阵的三角分解17CQU则A =1112 212
7、2=10 2111121112 022 2111112进一步A =10 211112110 022 211111211111202上述两个分解对应就是拟LU分解和拟LDU分解。本节内容18CQU方阵的三角分解方阵的谱分解方阵的谱分解19CQU定义6.2 若n 阶方阵A相似于对角阵,则称A为单纯矩阵。定理6.2.1 设n 阶方阵A是单纯矩阵，1,2, 是A的互异特征值，1,2,是其对应重数。则存在1,2,，使得(1) = =1，称为A的谱分解；(2) = = 0 , = 1,2,方阵的谱分解20CQU(3) =1= ；(4) = = , = 1,2,;(5) rank()=, = 1,2,;(6
8、) 满足以上性质的1,2,是唯一的。称1,2,为A的谱族。证明: (1)记 = (11,22,)，其中是阶单位阵。 因相似,则存在可逆阵P,使得 = 1。即方阵的谱分解21CQU = 1= (12)11 22 1 2 = =1= =1。其中= , = 1,2,;(2) 由 =1 2 = 1 =1 2 (12)方阵的谱分解22CQU所以方阵的谱分解23CQU(3) (4) (5) 由于 , = ,存在n阶可逆矩阵R，使得方阵的谱分解24CQU= 。又因为 , Q= ，存在n阶可逆矩阵T，使得 =，从而方阵的谱分解25CQU(6) 反正，若不唯一，设1,2,满足上述要求，则= = = = ()=
9、即：()= 0，当 时，=0.于是= = =1= = =1= = 。得证。方阵的谱分解26CQU推论 设 = =0,A是n阶单纯矩阵，且A的谱分解为 = =1，则 = =0().证明： 因为方阵的谱分解27CQU例 求 =122 212 221的谱分解。解：由矩阵A的特征多项式)| | = 12( 5 求出A的特征值1= 1,2= 5。然后，得到相应的线性无关的特征向量1= 1,1,0,2= 1,0,1,3= 1,1,1所以，相似变化矩阵P为方阵的谱分解28CQU =111 101 011, 得1=1 32 31 3 1 31 32 3 1 31 31 3。因此，1=11 10 011 32 31 3 1 31 32 3=2 31 31 3 1 32 31 3 1 31 32 3方阵的谱分解29CQU2=1 1 11 31 31 3=1 31 31 3 1 31 31 3 1 31 31 3.于是 = 1+ 52。本节习题30CQUP148：1， 2
