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1、广东省茂名市2015 届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分 50 分）1 （5 分）设全集U=1 ， 2，3，4，5，6 ，集合 A=1 ，2，3，5 ，B=2 ，4，6，则（ ?UA） B 为（）A2 B 4，6 C1，3，5 D2，4，6 2 （5 分） i 为虚数单位，则z=的虚部是（）Ai B1 C1Di 3 （5 分）在 ABC 中，内角A 和 B 所对的边分别为a和 b，则 ab 是 sinA sinB 的（）A充分不必要条件B必 要不充分条件C 充要条件D既 不充分也不必要条件4 （5 分）在各项均为正数的等比数列an中，已知a1?a3=25，则
2、 a2等于（）A5B25 C25 D 5 或 5 5 （5 分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）Ay=sinx By=Cy=x3Dy=lg6 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值是（）A0B2C4D5 7 （5 分）若 f（x）=x+（x2）在 x=n 处取到最小值，则n 的值为（）AB3CD4 8 （5 分）已知l、m 是不同的两条直线， 、是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（）A若 l ， ，则 lB若 l ， ，则 l C 若 lm， ，m? ，则 lD若 l ， ，m? ，则 lm 9 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出的
3、S 是（）A0BC1D 1 10 （ 5分）设函数y=f（x）在 R 上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp（x）=，则称函数fp（x）为 f（x）的 “ p 界函数 ” ，若给定函数f（x）=x22x2，p=1，则下列结论成立的是（）Afpf（ 0）=ffp（0）Bfpf （1）=ffp（1）C fp f（ 2）=fpfp（2）Dff （ 2）=fpfp（ 2）二、填空题（共3 小题，每小题5 分，满分15 分）11 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面积为12 （5 分）在区间 2，2上随机取一个数x，使得函数f（x）=+有意义的
4、概率为13 （ 5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A 位椭圆 E：+=1（ab0）的左顶点，点 B、C 在椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且OAB=45 ，则椭圆E 的离心率等于（二）选做题：14-15 两题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分【坐标系与参数方程】14 （ 5分）在极坐标系中，曲线 =sin与 =cos （ 0，0 ）的交点的极坐标为【几何证明选讲】15 （几何证明选讲选做题）如图，圆O 的半径为5cm，点 P是弦 AB 的中点， OP=3cm，弦CD 过点 P，且，则 CD 的长为 cm三、解答题16 （ 12 分）已知函数f（x） =si
5、n2xcos +cos2xsin （x R，O ） ，f（）=（1）求 f（x）的解析式；（2）若 f（）=，a （， ） ，求 sina 的值17 （ 12 分）第 117 届中国进出口商品交易会（简称春季交广会）将于4 月 15 日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8 名男志愿者和12 名女志愿者，现将这 20 名志愿者的身高组成如茎叶图（单位：m） ，若身高在175cm 以上（包括175cm）定义为“ 高个子 ” ，身高在175cm 以下（不包括175cm）定义为 “ 非高个子 ” （1）计算男志愿者的平均身高（保留一位小数）；（2）如果用分层抽样的方法从“ 高个
6、子 ” 和“ 非高个子 ” 中抽取 5 人，再从这5 个人选 2 人，求至少有 1 人是 “ 高个子 ” 的概率18 （ 14 分）如图，在四棱锥PABCD 中， PD平面 ABCD ，AD DC，DB 平分 ADC ，E 为 PC 的中点， AD=CD=1 ，DB=2，PD=2 （1）证明： PA平面 BDE；（2）证明： AC 平面 PBD ；（3）求三棱锥BADE 的体积19 （14 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn，a1=1，且 2nSn+12（n+1）Sn=n（n+1） （n N*） 数列bn满足 bn+22bn+1+bn=0（n N*） b3=5，其前 9 项和为 63（1
7、）求数列 an和bn的通项公式；（2）令 cn=+，数列 cn的前 n 项和为 Tn，证明： Tn2n320 （ 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 F（0，1） ，直线 l：y=1，点 P在直线 l上移动，R 是线段 PF 与 x 轴的交点， 过点 R， P 分别作直线l1， l2， 使得 l1PF， l2l， l1 l2=Q（1）求动点Q 的轨迹 C 的方程；（2）设 N 为轨迹 C 上的动点，是否在y 轴上存在定点E，使得以NE 为直径的圆被直线y=3截得的弦长恒为定值？若存在，求出定点E 和弦长；若不存在，请说明理由21 （ 14 分）设函数f（ x）=lnx x2+ax（
8、1）若函数f（x）在（ 0， 1上单调递增，试求a 的取值范围；（2）设函数f（x）在点 C（x0，f（x0） ） （x0为非零常数）处的切线为l，证明：函数f（x）图象上的点都不在直线l 的上方广东省茂名市2015 届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分 50 分）1 （5 分）设全集U=1 ， 2，3，4，5，6 ，集合 A=1 ，2，3，5 ，B=2 ，4，6，则（ ?UA） B 为（）A2 B 4，6 C1，3，5 D2，4，6 考点 ：交、并、补集的混合运算专题 ：集合分析：先求出 A 的补集，从而求出（?UA） B，进而得到答案解答
9、：解： ?UA=4 ，6，（ ?UA） B=4 ，6 2，4，6=4 ，6 ，故选： B点评：本题考查了集合的交，并，补集的运算，是一道基础题2 （5 分） i 为虚数单位，则z=的虚部是（）Ai B1 C1Di 考点 ：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念专题 ：数系的扩充和复数分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z 为 1i，可得它的虚部解答：解： z=i（ 1+i）=1 i，故它的虚部为1，故选： B点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3 （5 分）在 ABC 中，内角A 和 B 所对的边分别为a和 b
10、，则 ab 是 sinA sinB 的（）A充分不必要条件B必 要不充分条件C 充要条件D既 不充分也不必要条件考点 ：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题 ：简易逻辑分析：在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：在三角形中，若a b，由正弦定理，得 sinAsinB若 sinAsinB，则正弦定理，得 ab，根所以， ab 是 sinAsinB 的充要条件故选： C 点评：本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键 4 （5 分）在各项均为正数的等比数列an中，已知a1?a3=25，则 a2等于（）A5B25 C25
11、D 5 或 5 考点 ：等比数列的通项公式专题 ：等差数列与等比数列分析：利用等比数列的通项公式即可得出解答：解：设等比数列an的公比为q0，a1?a3=25，=25，a1q=5=a2故选： A点评：本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题5 （5 分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）Ay=sinx By=Cy=x3Dy=lg考点 ：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断专题 ：函数的性质及应用分析：根据正弦函数，指数函数，幂函数，对数函数的奇偶性和单调性，结合复合函数的单调性 “ 同增异减 ” 的原则，逐一判断可得答案解答：解： A 是奇函数但不是增函数；B 既不是奇函
12、数也不是偶函数；C 既是奇函数又是增函数；D 是偶函数 故选： C 点评：本题考查的知识点是函数单调性的判定与证明，函数奇偶性的判定，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答的关键6 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值是（）A0B2C4D5 考点 ：简单线性规划专题 ：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=2x+y 得 y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y= 2x+z 经过点 A 时，直线y=2x+z 的截距最大，此时
13、 z 最大由，解得，即 A（2，1）将 A 的坐标代入目标函数z=2x+y，得 z=2 2+1=5即 z=2x+y 的最大值为5故选： D 点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法7 （5 分）若 f（x）=x+（x2）在 x=n 处取到最小值，则n 的值为（）AB3CD4 考点 ：基本不等式专题 ：不等式的解法及应用分析：变形利用基本不等式的性质即可得出解答：解： x2， f（x）=x+=（x2）+2+2=4，当且仅当 x=3 时取等号n=3故选： B点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题8 （5 分）已知l、m 是不同的
14、两条直线， 、是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是（）A若 l ， ，则 lB若 l ， ，则 l C 若 lm， ，m? ，则 lD若 l ， ，m? ，则 lm 考点 ：空间中直线与平面之间的位置关系专题 ：阅读型分析：分别举出三个错误选项中的反例，当一条直线与两个垂直平面中的一个平面垂直，这条直线与另一个平面之间是平行或包含的关系，当一条直线与两个垂直平面中的一个平面平行，这条直线与另一个平面之间是平行或包含或相交的关系，C 选项中直线l 与平面 或相交或包含关系，得到结论解答：解：当一条直线与两个垂直平面中的一个平面垂直，这条直线与另一个平面之间是平行或包含的关系，故A 不正确
15、，当一条直线与两个垂直平面中的一个平面平行，这条直线与另一个平面之间是平行或包含或相交的关系，故B 不正确，C 选项中直线l 与平面 或相交或包含关系，故C 不正确，总上可知D 是一个正确答案，故选 D点评：本题考查空间中直线与平面之间的关系，是一个基础题，这种题目只要举出不正确选项中的反例就可以确定结论，注意题目中包含的线和面比较多，用实物演示可以更加形象9 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出的S 是（）A0BC1D 1 考点 ：程序框图专题 ：图表型；算法和程序框图分析：根据框图的流程模拟程序运行的结果，发现 S 值的周期为6，根据条件确定跳出循环的 k 值，计算输出的S 值解答：解：由程序框图知：n=1，第 1 次循环 S=，n=2；第 2 次循环 S=0，n=3；第 3 次循环 S=1，n=4；第 4 次循
