《微积分、极限思想推导圆周长、面积公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分、极限思想推导圆周长、面积公式（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆周长公式推导1. 积分法在平面直角坐标下圆的方程是x2 + y2 = r2 这可以写成参数方程 x = r * Cos t y = r * Sin t t 0, 2 于是圆周长就是C = (0 到 2) ( (x(t)2 + (y(t)2 ) dt （Q : 此处 x,y对 t 为什么都要导？A: 将一个圆的周长分成n 份，x(t)=x=xn-x(n-1), y(t)=y=yn-y(n-1).当 n，x，y0 时，可将每一份以直代曲，即每一份的长度 C/n= ( x2+ y2)= ( (x(t)2 + (y(t)2 ). 所以 C就是( (x(t)2 + (y(t)2 )从 0 到 2的积分
2、 . 虽然不导得出的结果是一样的，但原理方面就解释不通了. ）= (0 到 2) ( (-rSint)2 + (rCost)2 ) dt = (0 到 2) r dt = 2 r 2. 极限法在圆内做内接等 n 边形，求等 n 边形周长：可以分割成n 个以圆心为顶点的三角形，其底边长为 2*r*sin(/n) ，所以等 n 边形周长为n*2*r*sin(/n) 这个周长对 n求极限limn*2*r*sin(/n) 运用等价无穷小 规则，当 x0 时，有 sinx x 所以 limn*2*r*sin(/n) =limn*2*r*/n=2r. 圆面积公式推导应用圆周长 C = 2 r 1. 可以将
3、圆分成两个半圆两个半圆，再将两个半圆分成无数个面积相等的扇形并展开，在拼接起来， 底边可以以直代曲，那么就是一个底边长为r ，高为r 的矩形。这是小学的推导法，但有微积分的思想在其中。2. 积分法可将圆看成由无数个同心圆环组成. 设圆半径为 R，里面的同心圆环半径为r ，为自变量 . 设每个圆环厚度为dr 0，则圆环周长可看为2r ， 圆面积为所有这些圆环的面积之和 . 所以 S = 2 r dr,从 0 积到 R. 所以 S=21/2(R2-02)= R2.(球体积公式推导方法中的“球壳法Shell Method”与此法是类似的 .) 不应用圆周长C = 2 r 1. 积分法(1)圆方程为
4、x2+y2=r2.只需算出第一象限 (0 积到 r) ， 然后乘以 4. 方法和求曲边梯形面积类似，具体不再叙述. (2) 我们回过头来看到上面周长推导中的Q和 A. C/n= ( x2+ y2)= ( (x(t)2 + (y(t)2 )，每份 C/n 与两条半径组成的扇形的底面曲边是可以以直代曲的，那每个小扇形可以看成以C/n 为底、 r 为高的等边三角形，每个面积就是r* C/n*1/2=1/2*r* ( x2+ y2)= 1/2*r*( (x(t)2 + (y(t)2 ). 于是圆的面积就是S= (0 到 2) 1/2*r* ( (x(t)2 + (y(t)2 ) dt =1/2*r* (0 到 2) ( (x(t)2 + (y(t)2 ) dt =1/2*r*C =1/2*r*2r = r2. 2. 极限法类似于上面周长公式的极限法推导，在圆内做内接等n 边形，求等 n 边形面积：可以分割成n 个以圆心为顶点的三角形，根据正弦定理，其面积为 1/2*r*r*sin(2*/n) ，所以等 n 边形面积为n*1/2*r2*sin(2*/n) 这个面积对 n求极限limn*1/2*r2*sin(2*/n) 运用等价无穷小 规则，当 x0 时，有 sinx x 所以 limn*1/2*r2*sin(2*/n) =limn*1/2*r2*2*/n=r2*.
