排列组合复习讲义(上海)

《排列组合复习讲义(上海)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合复习讲义(上海)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1排列与组合排列与组合考纲要求：考纲要求：1、 掌握乘法原理、排列与排列数、组合与组合数、加法原理的概念及其计算，涉及简单问题掌握乘法原理、排列与排列数、组合与组合数、加法原理的概念及其计算，涉及简单问题情境的分析和计算。情境的分析和计算。注意：排列组合是概率统计，以及新增的“独立事件、互斥事件”的基础。【知识点回顾知识点回顾】（合上书本简单描述）乘法原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一 步有种不同的方法，做第二1m步有不同的方法，做第 n 步有不同的方法.那么完成这件事共有2mnm种不同的方法.123nNm m mmL（默写）排列和排列数：排列和排列数：!(1)(1)

2、,!()!mn nnnnnPn nnmPPPnnmL另外通常写成，公式 P 是指排列，从 n 个元素取 m 个进行排列(即排序)。 (P 是旧用法，现在教材上多用 A，Arrangement)（默写）组组合合和和组组合合数数：，!,!()!m mmn mn nnnPnCCCmm nm11 1mmm nnnCCC 公式 C 是指组合，从 n 个元素取 m 个，不进行排列（即不排序）。注意：要理解掌握公式，像今年的高考中就出现了一道考组合公式的选择题。（合上书本简单描述）加法原理：加法原理：做一件事情，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类1m办法中有种不同的方法，在第种类办

3、法中有种不同的方法，那么完成这件事情2mnnm共有种不同的方法。12nmmmL【排列数和组合数公式排列数和组合数公式】排列数公式 =.(，N*，且)注:规定.m nA) 1() 1(mnnnL！ )(mnn nmmn1! 0 2排列恒等式 （1）;1(1)mm nnAnmA（2）;1mm nnnAAnm（3）; 1 1mm nnAnA （4）;1 1nnn nnnnAAA （5）.1 1mmm nnnAAmA （6）.1! 2 2! 3 3!(1)! 1n nn L组合数公式 =(N*，且).m nCm n m mA Ammnnn LL 21) 1() 1( ！ )(mnmn nmNmn组合数

4、的两个性质（1）= ;m nCmn nC（2）+=.m nC1m nCm nC1（3）1 1kk nnkCnC 注：规定.10nC组合恒等式（1）;11mm nnnmCCm（2）;1mm nnnCCnm（3）; 1 1mm nnnCCm 以下公式都和二项式定理相关：以下公式都和二项式定理相关：（4）= nrr nC0n2（5）.1 121 r nr nr rr rr rCCCCCL(6).14205312n nnnnnnCCCCCCLL(7).1321232nn nnnnnnCCCCL(8).r nmr nr mnr mnr mCCCCCCC0110L(9).n nn nnnnCCCCC222

5、22120)()()()(L排列数与组合数的关系.mm nnAm C ！3【排排列列组组合合问问题题解解题题技技巧巧归归纳纳汇汇总总 】1）特殊元素和特殊位置优先策略）特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有1 3C1 4C3 4A由分步计数原理得113 434288C C A 例 2. （2009 北京卷理）用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A324 B328

6、 C360 D648解：首先应考虑“0”是特殊元素，当 0 排在末位时，有（个） ，2 89 872P 当 0 不排在末位时，有（个） ，111 488256P P P 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328（个）.故选 B.2）相邻元素捆绑策略）相邻元素捆绑策略 例 3. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与 其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法522 522480A A A 乙乙甲甲丁丁丙丙例 4. 记者要为 5 名

7、志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A.1440 种B.960 种 C.720 种 D.480 种解：首先两位老人不站在两端，那么在 5 名志愿者中挑 2 位站两端，有种；两位老人要相2 5P邻，用捆绑法把他们看成一位，和剩下的 3 名志愿者一起排，有种；两位老人内部排列，4P有种，则总共有种。故选 B。2P2 542960PP P3）不相邻问题插空策略）不相邻问题插空策略 例 5.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序 有多少种？解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱

8、共有种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 65 5A个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,节目的不同顺序共有种4 6A54 56A A4提示：不相邻问题通常用插空法：把要求不相邻的元素放在一边，先排其他元素，再将不相邻的元素插在已经排好的元素之间的空位上。4）定序问题倍缩空位插入策略）定序问题倍缩空位插入策略 例 6.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/AA(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外

9、的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙4 7A丙共有 1 种坐法，则共有种方法。 （实际类似捆绑法）4 7A5）排列问题求幂策略）排列问题求幂策略 例 7.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法676）环排问题线排策略）环排问题线排策略 例 8. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位4 4A置把圆形展成直线其余 7 人共有（8-1）！种排法即！ 7HFDCA

10、 ABCDEABEGHGF一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有1m nAn7）多排问题直排策略）多排问题直排策略 例 9.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.前排右 2 个特殊元素有种,2 4A再排后 4 个位置上的特殊元素丙有种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有种,则共有1 4A5 5A215 445A A A58）排列组合混合问题先选后排策略）排列组合混合问题先选后排策略 例 10.有 5 个不同的小

11、球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元2 5C素)装入 4 个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有4 4A24 54C A9）平均分组问题除法策略）平均分组问题除法策略 例 11. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？解: 分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,种分法。222 642C C C2223 6423/C C CA例 12. 把 10 人平均分成 2 组，每组 5 人，问共有多少种不同的分法？解：先确定第 1 组，有种方法，

12、再确定第二组，有种方法。这样确定两组共5 10C5 5C有种方法。因为是等分组，第一、二组次序可交换，同一种分法被重复了次，所以5 10c5 5c2 2P共有种分法2 25 55 10 PCC例 13：把 10 人分成 3 组，一组 2 人，一组 3 人，一组 5 人，问有多少种不同的分法？解：按人数的多少，可把各组划分为第一组，第二组，第三组。先确定第 1 组，有种；再2 10c确定第二组，有种法；最后确定第三组，有种，共有种。3 8c5 5c2 10c3 8c5 5c例 14：把 10 分成 3 组，一组 2 人，其余两组各 4 人，问有多少种不同的分法？解：先确定第 1 组，有种方法;再

13、确定第二组，有种方法;最后确定第三组，有种方法。2 10c4 8c4 4c因第二、三组次序可交换，故同一分法被重复了次，所以共有 2 2P2 24 44 82 10C PCC(1)对于等分组问题：分法数=等分组数的阶乘按序分组的总数(2)对于不等分组问题：分法数=按序分组的总数(3)对于混合分组问题：分法数=相等组数的阶乘按序分组的总数平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的n nAn组数)避免重复计数。6【练习练习】 1、某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为( )A.14

14、B.24C.28D.48解法一：从正面看，至少有 1 名女生，可以分为有 1 名女生的情况和有两名女生的情况，分别为和种，所以总共有种。13 24C C22 24C C1322 242414C CC C解法二：从反面看，6 人中选 4 人的方案种，没有女生的方案只有一种，所以满足要4 615C 求的方案总数有 14 种。思路：解法一，用分类计数原理直接解题；解法二为间接法思路：解法一，用分类计数原理直接解题；解法二为间接法2、某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成，其中 4 个数字互不相同的牌照号码共有（ ）A. B.个C.个D.个214 2610CP24 2610P P2

15、14 2610C24 2610P解：乘法原理，先排英文字母，没要求两个字母不同，所以英文字母有种；接下来 4 个21 26C数字要求互不相同，有种，所以总共有个牌照。选 A。4 10P214 2610CP思考：如果要求字母互不相同，或数字可以相同，则要怎么解呢？排列问题求幂策略思考：如果要求字母互不相同，或数字可以相同，则要怎么解呢？排列问题求幂策略3、从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有（ ）A40 种B60 种 C100 种 D120 种解：乘法原理，5 位同学中选 4 位参加活动，有种，在这 4 位中选 2 为星期五去，有种，4 5C2 4C剩下的两位安排星期六和星期日，有种，所以总共有种。选 B。2P42 54260C C P 思路：排列组合混合问题先选后排策略思路：排列组合混合问题先选后排策略4、甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ）A