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1、初中数学 2007 年 11 月教研综述1APOS 数学学习理论在教学中的应用数学学习理论在教学中的应用天河区教育局教研室天河区教育局教研室 刘永东刘永东一问题的提出从我区数学概念课单项式的教学实践与资料反馈显示，教师从定义出发，介绍符号表达，再讨论一系列性质，便匆匆进入解题环节，重结论轻过程短平快的教学方式希望学生能在熟能生巧中达到对概念的深入理解，但是一节课下来学生对单项式及其系数的判断还是出现问题，尽管教师不断的重复讲授，例如案例 1。同样在几何教学中也存在同样问题，例如用圆心距和两圆的半径的数量关系来解释圆与圆的位置关系，教师的概念同化也非常明显。另一方面，依据天河区质量监控系统中所获
2、得的数据，2007 年上学期天河区初一初二数学期中测试分析行动报告中可以看出，教师对概念的教学、技能的有效训练以及学生对此部分的学习存在着较大问题，例如案例 2。案例案例 1：单项式1自学：阅读课本 P55，找出“单项式” ， “系数” ， “次数”等概念，并填空；（略） 2经过上面的学习，你掌握了没有啊？来做一道题试一试： 判断下列代数式是否是单项式，不是的，请说明理由；如果是，请指出它们的系数和次数。， ， ， ， -9 ， x2y+z233a ba25 a25 3a b3. 练习练习：分：分 A、 、B、 、C 组组 (略略)案例案例 2：分析行动报告（节选）：初一：初一：从本次考试中，
3、我们可以看到许多考查基本概念的题目，然而学生对这部分题的解答情况不容乐观。学生对基本概念的理解，基本技能的掌握上还存在着一定问题。比如：第 6 题是一道考察单项式的概念的题目，答对率相对比较低，通过对试题的具体分析，我们发现许多学生漏选了“0”这个选项，学生对“单个的字母和数字也是单项式” ，的次x5数不为 1 这些概念都没有掌握好，不能正确判断 0、y、这几个代数式是否属于单项式，x5这说明学生并没有真正掌握什么是单项式。初二：初二：对定义、定理、公式理解不够透彻。由于本次期中考的三章内容（数的开方 、初中数学 2007 年 11 月教研综述2目前，相当多教师采取传统的概念同化教学方式，其教
4、学步骤为：（1）揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；（2）对概念进行特殊分类，揭示概念的外延；（3）巩固概念，利用概念的定义进行简单的识别活动；（4）概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其它概念间的联系。 这种教学方式有其精妙之处，但是过快的抽象过程只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。由教师代替学生快体验、快抽象出数学概念，即使是那些跟着教师进行有意义学习的学生，其学习活动也是不连贯的，建构的概念缺乏完整性。很多学生难以达到建构概念的图式层面。而数学学习是一种特殊的学习，这主要是由数学内容的抽象性和数学
5、知识体系的结构性所决定的。有人指出，数学抽象就其本质而言就是一种建构的活动，数学的研究对象正是通过这样的活动得到建构的。美国数学教育家杜宾斯基(Dubinsky) 等人提出一种建构主义学说APOS 理论，对于理解数学学习的本质和促进数学学习的科学性有一定的启示和帮助。这个理论对数学概念的建立步骤提供了新的界定，也体现了一种教学规律，为概念教学提供了新的理论支持，同时也为我们提供了一种实用的教学策略。这种理论是否也可以在其它课型上得到应用呢，这引起我们的思考。 二APOS 理论APOS 分别是由英文 action (操作) 、process (过程) 、object (对象) 和 schema
6、(图式)的第一个字母所组合而成，称其为 APOS 理论。这种理论认为，在数学学习中，如果引导个体经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组成图式从而理清问题情景、顺利解决问题。皮亚杰认为，数学抽象活动的基本性质是一种“自反抽象”。从而与通常所谓的“经验抽象”有着重要的区别。具体地说，按照皮亚杰的观点所谓的“经验抽象”即是以真实的事物或现象作为直接的原型，也即是由一类物质对象中抽象出共同的特性，与此相反， “自反抽象”却并非是关于物质对象的，而只是涉及到了人类施加于物质对象之上的活动，或者说，这整式乘除和勾股定理 ）中无理数的定义，平方根、立方根的定义区别，
7、乘方意义的理解、二次根式的意义等多是对定义、公式和定理的理解和运用。部分学生没能真正理解定义的内涵、公式的实质和定理的题设和结论，只是死记定义、定理；硬背公式，或是模仿公式进行计算。这些都导致学生基础题型不过关，变式能力、分析能力不够的主要原因。建议教师在概念课的教学中注重概念内涵的理解和应用。初中数学 2007 年 11 月教研综述3即是对人类自身活动进行反思的直接结果。皮亚杰的这一观点从一个侧面指明了数学学习的一个重要特点，特别是数学抽象活动的间接性。这就是说，数学抽象未必是以真实事物或现象为原型的直接抽象，而也可以是以已经得到建构的数学对象为原型的间接抽象，也即是在更高的层次上去对已有的
8、东西重新进行建构。APOS 理论就在于指明了这种建构的途径和方式。无论是“经验抽象”也好，还是“自反抽象”也罢，必须在经过操作、过程、对象、图式等阶段后才能完成数学对象、数学思维的建构和提升。 具体来说，所谓操作是指个体对于感知到的对象进行转换，这个对象实质上是一种外部刺激。举例来说，给出一个函数公式，要求个体计算出在一个给定点的函数值，这就是操作。不断重复这种操作，学生从中得到不断反思，于是就会在大脑中进行一种内部的心理建构，即形成一种过程模式。这种过程模式使得操作呈现出自动化的表现形式，而不再借助于外部的不断刺激。比如一旦学生认识到所谓函数只不过是给定一个不同的数就会得出相应的不同值，而不
9、必再进行具体的运算时，他就已经完成了这种过程模式的建构。而当学生意识到可以把这个过程看作是一个整体，并意识到可以对这个整体进行转换和操作的时候，其实已经把这个过程作为一个一般的数学对象。这时不但可以具体地去指明它所具有的各种性质，如单调性、奇偶性、周期性等，也可以此为对象具体地去实施各种特定的数学演算，如微分运算、积分运算等。从数学的角度看，由“过程”向“对象”的转移其基本意义就是为从更高的层次进行研究开拓了现实的可能性。就如这个例子所表明的那样，只有通过将注意力由主要集中于相应的计算过程转移到函数本身，也即把函数看成一个单一的对象，我们才能进而讨论函数的各种性质，包括各种函数的相互关系及函数
10、的运算等。个体对操作、过程、对象以及他自己头脑中的原有的相关方面的问题图式进行相应整合、精致就会产生出新的问题图式，这种图式的作用和特点就是可以决定某些问题或某类问题是否属于这个图式，从而就会作出不同的反应。显然，个体的思维和认识状况在这种持续建构中已经上升到更高的层次，即对有关概念进行了更高层次的加工和心理表征。 三基于三基于 APOS 理论的教学案例理论的教学案例目前基于 APOS 理论的教学案例中，大多运用于数学概念教学实践中。认为： APOS 理论当中的活动阶段相当于观察、呈现数学概念的具体实体阶段；过程阶段则是对具体实体进行思维概括得出数学概念的阶段。但这还没有结束，要对概念有真正的
11、理解，要使数学概念真正在学生头脑中建立起来，还必须上升到对象、图式阶段。对象阶段即是将概念作为一个已知对象应用到它生存的土壤或背景中，并将它作为一个工具， 一个新的对象来初中数学 2007 年 11 月教研综述4看待，即达到了对象阶段。对象阶段过后，概念建立还要进入图式阶段；能够区分、评价此概念与彼概念，这时概念以一种完整的心理图式储存于大脑当中，其中包括具体的实例、抽象的过程，完整的定义及与其他概念的区分与联系等等。同时，还必须注意，APOS 理论的四个阶段(步骤) 一般不能逾越，应当循序渐进。 同时，又不可只停留在具体、直观、视觉化的阶段，必须升华、逐级地抽象，不断地形式化，最后完成数学概
12、念的建立。具体案例见附件，这里不在熬述，我们主要是在探求前面提出的的思考。请先看在香港考察听到的一节小学 3 年级的解难策略训练课，其设计大概如案例 3 所示：全班 20 人，这 5 道题解题错误人数分别为：01712108（按学生举手统计） 。在这里，教师很明显的采取建构思维，取得了一定的效果，有不少学生通过建构解决了问题；但总觉得能否有更好的办法来取得更进一步的效果呢？我们尝试用 APOS 理论来完善一下。如案例 4 的设计，在实施时增加小组合作学习，恐怕效果会更加突出一些。案例 3：解难策略训练案例案例 4：解难策略训练问题问题 1：裁缝制衣服：裁缝制造 1 件衣服需要 2 天，制造 1
13、2 件衣服需要多少天？注：解决以下问题时要求学生画示意图（小学生创意，五花八门，有趣）问题问题 2：锯木头：一根木头锯成 2 段需要 2 分钟，锯成 5 段需要多少分钟？问题问题 3：植树：沿一条小路边种植树木，5 米种 1 棵树，共种了 10 棵树，问小路长多少米？问题问题 4：跑楼梯：跑一层楼梯需要上 15 级台阶，问从 1 楼跑到 3 楼需要跑多少级台阶？问题问题 5：花坛设计：在一个圆形的花坛上放 10 盆花，每 2 盆花相隔 2 米（指的是圆弧长），问花坛的圆周长多少米？1. 操作阶段操作阶段-体会并思考两种问题之间的差异体会并思考两种问题之间的差异问题问题 1：裁缝制衣服：裁缝制造
14、 1 件衣服需要 2 天，制造 12 件衣服需要多少天？注：解决以下问题时要求学生画示意图（小学生创意，五花八门，有趣）问题问题 2：用剪刀剪绳子，剪一次需要 2 秒钟，问：（1）从一条长为 10 米的绳子剪下 5 段长为 1 米的绳子，需要多少秒？（2）把一条长为 10 米的绳子剪成 5 段，需要多少秒？教师通过这两个问题，引导学生自己初步体会两种问题之间的差异。初中数学 2007 年 11 月教研综述5图 2 3. 对象阶段对象阶段-从更高的层次进行研究开拓现实，进行整体转换和操作问题问题 5：接问题 2，把一条圆周长为 10 米的绳子剪成五段，需要多少秒？在教学中，以形助数，使问题直观呈
15、现，有利于对知识的识记和理解；有利于分析题中数量之间的关系，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。4. 图式阶段图式阶段-建立综合心理图式建立综合心理图式问题问题 6：花坛设计：在一个圆形的花坛上放 10 盆花，每 2 盆花相隔 2 米（指的是圆弧长） ，问花坛的圆周长多少米？经历以上三个阶段的教学，学生在头脑中应该形成了通过借助图形，揭示问题的关键难点的心理图式：具体的实例，运算过程，解题的策略，并利用数形结合的方法运用解决实际问题。再看一个例子：华师大版九年级数学的圆与圆的位置关系的教学案例，此案例来自长兴中学肖晔老师的设计拓展。此课有概念的教学，更有更深层次的性质理解
16、，不纯属概念课型。原设计在课堂实践中效果较好，现运用 APOS 理论重新整合设计，以期得到课堂实践的检验。 环节一、环节一、 温故知新温故知新 1、点与圆位置关系有 种，如图 1 所示，O 的半径为 r， （1）A 点在圆 ，OA r，（2）B 点在圆 ，OB r（3）C 点在圆 ，OC r2、如图 2 所示，r 为O 的半径，为直线 到圆心的距离dlo在图（1）中， ，直线 与O drl在图（2）中， ，直线 与O drl在图（3）中， ，直线 与O drl环节二、环节二、操作（操作（A）1、如下图，已知 AB = 4cm，以 A 为圆心， 2、如下图，已知 AB = 4cm，以 A 为圆心，1.5cm 为半径画圆；以 B 为圆心，3cm 为 1.5cm 为半径画圆；以 B 为圆心，铺垫铺垫作用作用具体数据具体数据2过程阶段过程阶段-
