《可测函数列常见的几种收敛》由会员分享，可在线阅读，更多相关《可测函数列常见的几种收敛（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1可测函数列常见的几种收敛可测函数列常见的几种收敛摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛Several Common Convergence of Measurable Function ColumnAbstract:Abstract: This artirle introduces the measurable function column of several common convergence: uniform convergence, alm
2、ost uniform convergence, almost everywhere convergence, convergence in measure and the relationship between them.Key words: Measurable functions are listed; Uniform convergence; Almost uniform convergence; Convergence in measure; Almost everywhere convergence前言前言在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限
3、过程和(R)积分过程可交换次序等可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2 函数在收敛域内不一致收敛，但对于一个当时在内一( )f x0,1000, 致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相联系的、相辅相成的”11 可测函数列几种收敛的定义可测函数列几种收敛的定义1.1 一致收敛一致收敛3设是定义在点集上的实值函数若对于存12( ),( ),( ),( ),kf xf xfxfxLLE0, 在使得对于都有,KN,kKxE ( )( )kfxf x则称在上一致收敛到记作： (其
4、中 u 表示一致 uniform)( )kfxE( )f xu kff 1.2 点点收敛点点收敛2若函数列在点集上每一点都收敛，则称它在12( ),( ),( ),( ),kf xf xfxfxLLDE上点点收敛 D例例 1 定义在上的函数列则在上点点收敛到函数0,1E 1( ),1kfxkx( )kfxE1,0,( )0,01.xf xx而且还能看出在上不一致收敛到，但对于在上( )kfx0,1( )f x0,( )kfx ,1一致收敛到( )f x1.3 几乎一致收敛几乎一致收敛3设是可测集，若使得在上有则称E0,EE(),m E EEu kff 在上几乎一致收敛与，并记作(其中 a.u表
5、示几乎一致( )kfxE( )f x. .a u kffalmost uniform) 例例 2 定义在上的函数0,1E ( )k kfxx在上收敛却不一致收敛但是只要从的右端点去掉任一小的一段使之成为0,10,1则在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以0,10,0( )kfx称之为在上几乎一致收敛与 00,1E 1.4 几乎处处收敛几乎处处收敛3设是定义在点集上的广义实值函数若存在12( ),( ),( ),( ),kf xf xfxfxLLnER中点集，有及对于每一个元素，有EZ( )0,m Z xE Zlim( )( )kxfxf x 则称在上几乎处处收敛与，并简记为或( )kfx
6、E( )f x, . kff ae E.a e kff 若上文的例 1 也可以称之为在上几乎处处收敛与0,1( )f x1.5 依测度收敛依测度收敛例例 3 在上构造函数列如下：对于，存在唯一的自然数 和，0,1)( )kfxkNij3使得其中令2,ikj02 ,ij1,)22( )( ),1,2,0,1).iikjjfxxkxL任意给定的对于每一个自然数 ，有且仅有一个，使得数00,1),x ij01,)22iijjx列中有无穷多项为 1，有无穷多项为 0由此可知，函数列在上0 ()f x( )kfx0,1)点点不收敛因此仅考虑点收敛将得不到任何信息然而仔细观察数列虽然0()kfx有无穷多个
7、 1 出现，但是在“频率”意义下，0 却也大量出现这一事实可以用点集测度语言来刻画只要足够大，对于点集k01,0,1)( )00,1)( )11,)22kkiixfxxfxjj的测度非常小事实上1(0,1)( )0)2kimxfx这样对于任给的总可以取到也就是取到使得当时，有0,0,k0,i0kk(0,1)( )0)1kmxfx 其中这个不等式说明，对于充分大的，出现 0 的“频率”接近 1我们02ih将把这样一种现象称为函数列在区间上依测度收敛到零函数，并将抽象( )kfx0,1)出以下定义3：设是可测集上几乎处处有限的可测函数若对于12( ),( ),( ),( ),kf xf xfxfx
8、LLE任意给定的有0,lim( ()0,kxm E ff 则称在上依测度收敛到函数，记为( )kfxE( )f x.m kff 2 可测函数列几种收敛的关系可测函数列几种收敛的关系2.1 点点收敛与一致收敛的关系点点收敛与一致收敛的关系由上述定义我们可以知道，必有点点收敛于如例 1u kff ( )kfx( )f x4反之则不一定成立，如例 2而且还可以得到若是可测集上的可测函数列，( )kfxE则也是可测函数( )f x2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系几乎处处收敛与一致收敛的关系由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛反之则不. . .()a ua e kkffff然，如例 2而且还可以得到若
9、是可测集上的可测函数列，则极限函数( )kfxE也是可测函数应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算( )f x和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序2.3 几乎处处收敛与一致收敛的关系几乎处处收敛与一致收敛的关系叶果洛夫叶果洛夫(EopoB)定理定理5：设是上一列 a.e收敛于一个( ),nm Ef Ea.e有限的函数的可测函数，则对于任意的，存在子集，使在f0EEnf上一致收敛，且E()m E E注注 定理中“”不可去掉如：例 4 定义在的函数列( )m E (0,)E 1,(0,( )(1,2,).0,( ,)mxmxmxmfL则在上处处收敛于 1，但对于
10、任何正数及任何可测集，当时mf(0,)E时，在上不一致收敛于 1这是因为，当时时，()m E EmfE()m E E不能全部含于中，必有，于是有E(0,m( ,)mEmxI()0mmxfsup( ) 1() 11mmm x Efxfx所以在上不一致收敛与 1，也即定理中“”不可去掉4( )mxfE( )m E 由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)应用应用 由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设是上 a.e有限的可测函数，则对于任意的，存在闭子集( )f xE05
11、，使在上是连续函数，且EF( )f xF()m E F也就是说：在上 a.e有限的可测函数“基本上”是连续的(在除去一个测度E为任意小集合的子集上)也即我们可以用连续函数来逼近 a.e有限的可测函数2.4 几乎处处收敛与依测度收敛的关系几乎处处收敛与依测度收敛的关系例例 5 取，将等分，定义两个函数：(0,1E E，(1) 111,(0, 2( )10,( ,12x x xf (1) 210,(0, 2( )11,( ,12x x xf 然后将四等分、八等分等等一般的，对于每个，作个函数：(0,1n2n( )11,(,22( )1,2,2 .10,(,22nnnn jnjjx xjjjxfL我
12、们把，先按后按的顺序逐个的排成一列：( ),1,2,2n jxjfLnj(1)(1)( )( )( ) 12122( ),( ),( ),( ),( ),nnnnxfxfxfxfxfLLL(1)在这个序列中是第个函数可以证明这个函数列是依测度收敛( )( )n jxf22njN于零的这是因为对于任何的，0( )0n jfE或是空集(当)，或是 (当)，所以11, 22(nnjj01( )102( )n jnfm E(当时时，左端为 0)1由于当趋于时，由此可见2(1,2,2 .)2nnj jNLn，( )( 0)0limn jNm E f6也即( )( )0mn jxf 但是函数列(1)在上的
13、任何一点都不收敛事实上，对于任何点，无论多0(0,1xn么大，总存在，使，因而，然而或j01(,22nnjjx( ) 0()1n jxf( ) 10()0n jxf，换言之，对于任何，在中必有两子列，一个恒为( ) 10()0n jxf0(0,1x( ) 0()n jxf1，另一个恒为 0所以序列(1)在上任何点都是发散的(0,1这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛，也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯黎斯(FRiesz) 5 设在上测度收敛于，则存在子列在上E nff infEa.e收敛于f例例 6 如例 4，当当但是当时，( )1()mxnf xE011( ,)mfE
14、m且这说明不依测度收敛于 1( ,)m m nf这个例子又说明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系：勒贝格勒贝格(Lebesgue) 5 设，是上 a.e有限的可测函数列， mE nfE在上 a.e收敛于 a.e有限的函数，则 nfEf( )( )m nxf xf 此定理中的“”不可去掉，原因参看例 1定理也说明在的在的条件mE 下，依测度收敛弱于几乎处处收敛mE 有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件：设，是上的可测函数列，那么依测度收敛于的充要条件mE nfE nff是：的任何子列中必可找到一个几乎处处收敛于的子序列 nf knff证明证明（必要性） 由于依测度收敛于，由定义知道这时的的任何子 nff nf序列必也依测度收敛于，由黎斯定理可知中必存在几乎处处收敛于 knff knf7的子序列f（充分性） 如果不依测度收敛于，即存在一个，使得 nff0()nffm E不趋于 0因此必有子序列，使得 knf( ()0.lim knkm E ffa这样就不可能再有子序列几乎处处收敛于了，否则由勒贝格定理知将有 knff依测度收敛于，即 knff( ()0.lim knkm E ff
