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1、第 1 页 共 15 页普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新高三新数学数学第一轮复习教案（讲座第一轮复习教案（讲座 28）数列概念及等差数列数列概念及等差数列一课标要求：一课标要求： 1数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单 的表示方法（列表、图像、通项公式） ，了解数列是一种特殊函数； 2通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的 公式； 3能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。 体会等差数列与一次函数的关系。 二命题走向二命题走向 数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二
2、个客观性题目和一个 解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、 前 n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。 预测 07 年高考： 1题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、 生活中的实际问题的解答题； 2知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合 题，还可能涉及部分考察证明的推理题。 三要点精讲三要点精讲1数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或na首项） ，在第二个位置的叫
3、第 2 项，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；nnna数列的一般形式：，简记作 。1a2a3ana na（2）通项公式的定义：如果数列的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表na示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如，数列的通项公式是= （7，） ，数列的通项公式是= nannnNna（） 。1 nnN说明：表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公 nananna f n式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， = na=； 不是每个数列都有通项公式。例如，( 1)n1,21()1,2nkkZnk 1，1.4，1.41，1.414， （3）数列的函数特征与图象
4、表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9第 2 页 共 15 页上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当N( )f n 自变量从 1 开始依次取值时对应的一系列函数n值，通常用来代替，其图象是一群孤立(1),(2),(3),fff( )f nna f n点。 （4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数 列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列的第 1 项（或前几项） ，且任
5、一项与它 nana的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 1na 数列的递推公式。 2等差数列 （1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的2 差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差 通常用字母表示。用递推公式表示为或。d1(2)nnaad n1(1)nnaad n（2）等差数列的通项公式：；1(1)naand说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为A Pd00d 常数列， 为递减数列。0d （3）等差中项的概念： 定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中aAbAab，成
6、等差数列。2abAaAb2abA（4）等差数列的前和的求和公式：。n1 1()(1) 22n nn aan nSnad四典例解析四典例解析 题型 1：数列概念 例 1根据数列前 4 项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7；（2），；221 2231 3241 4251 5（3），。1 1*21 2*31 3*41 4*5解析：（1）=2； （2）= ； （3）= 。na1nna2(1)1 1n n na( 1) (1)nn n 点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系， 这对考生的归纳推理能力有较高的要求。例 2数列中，已知， na21()3nnnanN第
7、 3 页 共 15 页（1）写出，； （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？10a1na2na2793解析：（1），21()3nnnanN10a21010 1109 33，； 1na2211131 33nnnn2na 2224211 33nnnn（2）令，解方程得，279321 3nn15,16nn 或， 即为该数列的第 15 项。nN15n 2793 点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属。 题型 2：数列的递推公式 例 3如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原( , )|0,0x yxy点运动到点,接着按图中箭头所示方向在1(0,1)Bx 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每
8、秒移动一 个单位长度。 （1）设粒子从原点到达点时，nnnABC、所经过的时间分别为，试写出nnna 、b 、c的通相公式；nnna、b 、c（2）求粒子从原点运动到点时所(16,44)P 需的时间； （3）粒子从原点开始运动，求经过 2004 秒后，它所处的坐标头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头。解析：(1) 由图形可设，当粒子从原点到达时，明12(1,0),(2,0),( ,0)nAAA nLnA显有13,a 211,aa311123 4,aaa 431,aa533205 4,aaa 651,aa 2123(
9、21) 4,nnaan2211,nnaa,211435(21)naan L241n 。2 22114nnaan ,2 21212(21)441nnbannn。2 222 244nnbannn ,22 2121(21)42(21)(21)nncbnnnnn0C5C4C3C2B5B4B3B2A6A5A4A3A2C1B1A1xy第 4 页 共 15 页,22 22242(2 )(2 )nncannnnn即。 2 ncnn（2）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过(16,44)P44C得时间 再加（4416）28 秒，44c所以秒。24444282008t （3）由2004，解得，取
10、最大得 n=44，2 ncnn1801712n 经计算，得19800， 又 S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0， 由 S7S8，得 a8S5，即 a6+a7+a8+a902（a7+a8）0， 由题设 a7=0，a80，显然 C 选项是错误的。 （2）答案：C解法一：由题意得方程组， 1002) 12(22302) 1(11dmmmadmmma视 m 为已知数，解得，212)2(10,40 mmamd。21040 2) 13(3)2(1032) 13(33221 13mmm mmmdmmamaSm解法二：设前 m 项的和为 b1，第 m+1 到 2m 项之和为 b2，
11、第 2m+1 到 3m 项之和为 b3，则 b1，b2，b3也成等差数列。 于是 b1=30，b2=10030=70，公差 d=7030=40。b3=b2+d=70+40=110 前 3m 项之和 S3m=b1+b2+b3=210. 解法三：取 m=1，则 a1=S1=30，a2=S2S1=70，从而 d=a2a1=40。 于是 a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2+a3=210。 点评：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法 二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得 的信息可知，对任意变化的自然数 m，题给数列
12、前 3m 项的和是与 m 无关的不变量，在 含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影。 例 14 （2000 上海，21）在 XOY 平面上有一点列 P1（a1，b1） ，P2（a2，b2） ，Pn（an，bn） ，对每个自然数 n，点 Pn位于函数 y=2000（）x（0a1010a的图象上，且点 Pn、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以 Pn为顶点的等腰三角形。 （）求点 Pn的纵坐标 bn的表达式； （）若对每个自然数 n，以 bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形，求 a 的取 值范围； （） （理）设 Bnb1，b2bn（nN）.若 a 取（）中确定的范围
13、内的最小整数， 求数列Bn的最大项的项数。第 13 页 共 15 页（文）设 cnlg（bn） （nN）.若 a 取（）中确定的范围内的最小整数，问数列 cn前多少项的和最大?试说明理由。解析：.解：（）由题意，ann，bn2000（）。21 10a21n（）函数 y=2000（）x（0a10）递减，10a对每个自然数 n，有 bnbn1bn2 则以 bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn2bn1bn，即（）2（1）0，10a 10a解得 a5（1）或 a5（1） ，555（1）a105（） （理）5（1）a10，5a=7，bn2000（）。10721n数列bn是一个递减
14、的正数数列.对每个自然数 n2，BnbnBn1。 于是当 bn1 时，BnBn1，当 bn1 时，BnBn1， 因此，数列Bn的最大项的项数 n 满足不等式 bn1 且 bn11。由 bn2000（）1，得 n20.8，n=20。10721n（文）5（1）a10，a=7，bn2000（）。510721n于是 cnlg2000（）3lg2（n）lg0.710721n21数列cn是一个递减的等差数列. 因此，当且仅当 cn0，且 cn10 时，数列cn的前 n 项的和最大。由 cn3lg2（n）lg070，21第 14 页 共 15 页得 n20.8，n=20。 点评：本题主要考查函数的解析式，函数的性质，解不等式，等差、等比数列的有 关知识，及等价转化，数形结合等数学思想方法. 五思维总结五思维总结 1数列的知识要点：（1）数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N（或它的有限子集 1，2，3，n， ）上的函数f（n） ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函 数值：f（1） ，f（2） ，
