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1、微积分方法建模数学建模案例分析5 万有引力定律的发现历史背景历史背景 德国天文学家、数学家开普勒（15711630）在第谷.布拉赫对于行星运动大量观测资料的 基础上，经过对观测数据长期深入的分析，归纳出著名的所谓行星运动三定律，即： （1）各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上； （2）每颗行星运行过程中单位时间内太阳行星向径扫过的面积是常数； （3）各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道长半轴的 3 次方成正比。 由于当时尚没有计算变速运动的工具，而从开普勒定律可以看出行星运行速度是变化的。十 七、十八世纪许多科学家致力于行星沿椭圆轨道运行时受力状况的研究，终未得
2、到有关引力的结 果。 牛顿在研究变速运动过程中发明了微积分，又以此为工具在开普勒三定律和牛顿第二定律的 基础上，成功地得到万有引力定律。模型假设模型假设 对任一行星椭圆运行轨道建立极坐标系,以太阳为坐标原点，长半轴方向为),(r，向径 表示行星的位置。0r 1、轨道方程为（1）)1 (,cos12222 eabab er其中为椭圆的长短半轴，为离心率。ba,e2、单位时间内向径扫过的面积是常数，即rA（2）Ar 2 213、行星运行周期满足 （3）T32aT4、行星运行时受的作用力等于行星加速度和质量的乘积，即 （4） f rm rmf模型建立模型建立 引入基向量（5） cossinsinco
3、sjiujiur向径可表示为：。以下记 （6） r rurrdtd由（5）可得 （7） rruuuu由（6） 、 （7）两式可得（8） ururururrrrr& )(0 太阳行星u ru微积分方法建模数学建模案例分析（9） urrurrurururururrrrr22r根据（2）式得 ， （10）22 rA 34 rrA 于是 ， （9）式化为 （11）02rr rurrr2对（1）式求导，并利用（10）式的结果，得 （12）sin2cos1sin2Aeer（13）32224cos4cos2 rrA reAAer把（10） 、 （13）代入（11）式得 （14）rurAr224 把（14） 、 （6）代入（4）式得 , （15） 0224rrmAfrrr 0又由（2） ，行星运行一个周期向径扫过的面积为，所以 （16）TababTA由（1） 、 （3） 、 （16）式容易算出 （17） 22 A把（17）代入（15）式有 （18） 0224rrmf将写成（为万有引力常数，为太阳质量） ，于是24kMkM（19） 02rrMmkf模型验证模型验证 由于，32aT232244 Ta 米111049. 1a（秒）1016. 37T，可算得 ，2311/1071. 6秒千克米k千克301096. 1M19 232 1007.134Ta，验证了 。191015.13kMkMTa2324
