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1、 1 / 2520182018 届高考数学（理）届高考数学（理） 热点题型详解热点题型详解目目 录录概率与统计概率与统计-2-2函数与导数函数与导数-7-7解析几何解析几何-10-10立体几何立体几何-15-15三角函数与解三角形三角函数与解三角形-19-19数列数列-22-222 / 25概率与统计概率与统计热点一 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定
2、概率模型，恰当选择概率公式.【例 1】现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.(1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；(2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 |XY|，求随机变量 的分布列.解 依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的概率为 .1 32 3设“这 4 个人中恰有
3、 i 人去参加甲游戏”为事件Ai(i0，1，2，3，4).则 P(Ai)C.i 4(1 3)i(2 3)4i(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率P(A2)C.2 4(1 3)2(2 3)28 27(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则 BA3A4，且A3与 A4互斥，P(B)P(A3A4)P(A3)P(A4)C C3 4(1 3)32 3 .4 4(1 3)41 9(3)依题设，的所有可能取值为 0，2，4.且 A1与 A3互斥，A0与 A4互斥.则 P(0)P(A2)，8 27P(2)P(A1A3)P(A1)P(A3)CC ，1 4(1
4、3)1(2 3)33 4(1 3)32 340 81P(4)P(A0A4)P(A0)P(A4)CC.0 4(2 3)44 4(1 3)417 81所以 的分布列是024P8 27408117 81【类题通法】(1)本题 4 个人中参加甲游戏的人数服从二项分布，由独立重复试验，4 人中恰有 i 人参加甲游戏的概率 PC，这是本题求解i 4(13)i(23)4i的关键.(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把0，2，4 的事件转化为相应的互斥事件 Ai的概率和.【对点训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3 人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人
5、一道必答题，答对则为本队得 1 分，答错或不答都得 0 分，已知甲队 3 人每人答对的概率分别为 ，3 4，乙队每人答对的概率都是 ，设每人回答正2 3122 3 确与否相互之间没有影响，用 表示甲队总得分.(1)求 2 的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下，甲队比乙队得分高的概率.解 (1)2，则甲队有两人答对，一人答错，故 P(2) 3 42 3(112)3 4(123)1 2(134)2 31 2；11 24 (2)设甲队和乙队得分之和为 4 为事件 A，甲队比乙队得分高为事件 B.设乙队得分为 ，则 B.(3，2 3)P(1) 3 4(123) (112) (134)2
6、 3(112) ，(134) (123)1 2143 / 25P(3) ，342 31 21 4P(1)C ，1 32 3(1 3)22 9P(2)C ，2 3(2 3)21 34 9P(3)C，3 3(2 3)38 27P(A)P(1)P(3)P(2)P(2)P(3)P(1) ，1 48 2711 244 9142 91 3P(AB)P(3)P(1) ，1 42 91 18所求概率为 P(B|A) .P（AB）P（A）1 18 1 31 6热点二 离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应
7、用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例 2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独2 31 3立.(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率；(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值(数学期望).解 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛” ，Ak表示“第 k 局甲获胜” ，Bk
8、表示“第 k 局乙获胜”，则 P(Ak) ，P(Bk) ，k1，2，3，4，5.2 31 3(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) .(2 3)21 3(2 3)22 31 3(2 3)25681(2)X 的可能取值为 2，3，4，5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2) ，5 9P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3) ，2 9P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1
9、A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，10 81P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).8 81故 X 的分布列为X2345P5 92 910 818 81E(X)2 3 45.5 92 910 818 81224 81【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：
10、每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50元，其余 3 个均为 10 元.求：顾客所获的奖励额为 60 元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预4 / 25算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解 (1)设
11、顾客所获的奖励额为 X.依题意，得 P(X60) ，1 2即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为 .1 2依题意，得 X 的所有可能取值为 20，60.P(X60) ，P(X20) ，1 21 2即 X 的分布列为X2060P1 21 2所以顾客所获的奖励额的数学期望为 E(X)20 60 40(元).1 21 2(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60元.所以，先寻找期望为 60 元的可能方案.对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为 60 元是面值之和的最大值，所以期望不可能为 60 元；如果选择(50，50，50，10)的方案，
12、因为 60 元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为 60 元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案 1.对于面值由 20 元和 40 元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案 2.以下是对两个方案的分析：对于方案 1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为 X1，则 X1的分布列为X12060100P1 62 31 6X1的数学期望为 E(X1)20 60 100 60(元)，1 62 31 6X1的方差为 D(X1)(2060)2 (6060)1 62 (10
13、060)2 .2 3161 600 3对于方案 2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为 X2，则 X2的分布列为X2406080P1 62 31 6X2的数学期望为 E(X2)40 60 80 60(元)，1 62 316X2的方差为 D(X2)(4060)2 (6060)1 62 (8060)2 .2 31 6400 3由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2.热点三 概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是
14、解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例 3】2018 年 6 月 14 日至 7 月 15 日，第 21 届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的 40 名大学生的成绩分组：第 1 组75，80)，第 2 组80，85)，第 3 组85，90)，第 4 组90，95)，第 5 组95，100，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第 3，4，5 组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取 6 人进行面试.已知甲和乙的成绩均在第 3 组，求甲或乙进入5 / 25面试的概率；若从这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官D 的面试，设第 4 组中有 X 名学生被考官 D 面试，求 X 的分布列和数学期望.解 (1)由频率分布直方图知：第 3 组的人数为 50.064012.第 4 组的人数为 50.044
