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1、第五讲：数学思维训练之假设法解决数学问题一、鸡兔同笼问题1、知识介绍：大约在 1500 多年前， 我国的大数学家孙子在孙子算经 中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？这就是“鸡兔同笼”问题，它是我国古代著名趣题之一。同学们，你会解答这个问题吗？你道古人是怎样解决的吗？今天我们将会用怎样的方法去解决呢？这就是这专题学习的一个重点，巧用假设法去解此类问题是非常简单的，也很好理解。 在日常生活有关鸡兔同笼的问题很多，如运输打坏玻璃如何赔偿、
2、两种钱放在一起如何分开，考试中答错答对问题等等这些问题，用假设方法去解答，能化难为易。2、探索题目：小梅数她家的鸡与兔，数头有8 个，数脚有26 只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？解法一：（古人解法）提足法：我们先了解古人在解决此类问题的方法。原来，孙子在解决时大胆的设想，先让每只鸡提起一只脚，每只兔提起两只脚。这样，每只鸡则变成了“独脚金鸡”了，而每只兔则变成了“双脚怪兔”了。这样，现在脚的总数只有原来的一半了。我们再让它们提一次脚，让每只鸡和每只兔都提起一只脚来，现在每只鸡则变成“无脚鸡”，而每只兔则变成了“独脚兔”了。这样，它们又提起了8 只脚，所剩下的脚就只有兔子的脚了，从而求出了兔的
3、只数来，再求鸡的只数就非常简单了。解答 兔的只数：鸡的只数：解法二：画图法（画头添足法）根据画图的过程列出算式：解答 兔的只数：鸡的只数：解法三：假设法因为有 8 头，说明鸡和兔的总只数为8 只，我们不妨假设笼子里全部者是兔子，1只兔子有 4 只脚，所以共有32 只脚，而实际只有26 只脚，从中多出了6 只脚来，为何多出6只脚呢？是因为我们把笼子里的鸡当成了兔子造成的。而我们每只鸡只有2 只脚，从而多算了 2 个脚来，由此可求出鸡的只数来，再求出兔子的只数，问题就解决了。当然还可假设笼子里全都是鸡来解决，请小朋友去完成吧。解答 假设 8 只全都是兔子。鸡的只数：兔的只数：2、小明参加一次数学竞
4、赛，试题共有10 道，每做对一题得10 分，错一题扣5 分，小明共得了 70 分，他做对了几道题？分析：假设他做对了10 道题，那么应得10 10100 (分)，而实际只得70 分，少 30 分，这是因为每做错一题，不但得不到10 分，反而倒扣5 分，这样做错一题就会少10515 (分)，看30 分里面有几个15 分，就错了几题。5 解：( 10 1070 ) ( 105 ) 30 15 2 (道 ) - 错题10 28 (道 ) 答：他做对了8 道题。3、有面值 5 元和 10 元的钞票共100 张，总值为800 元。 5 元和 10 元的钞票各是多少张？分析：假设 100 张钞票全是5 元
5、的，那么总值就是5 100500 (元)， 与实际相差800500300 元差的 300 元，是因为将10 元 1 张的算作了5 元的，每张少计算1055 (元)，差的 300 元里面有多少个5 元，就是多少张10 元的钞票。解：( 8005 10 ) ( 105 ) 300 5 60 (张) - 10 元面值1006040 (张) 答：有 10 元的钞票60 张， 5元的钞票40 张。4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共21 只，共 140 条腿和 23 对翅膀， 三种动物各多少只？( 蜘蛛 8 条腿，蜻蜓6 条腿 2 对翅膀，蝉6 条腿 1 对翅膀) 分析：假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是 6 条腿， 那
6、么总腿数是6 21126 (条)， 比实际少 14012614( 条)，这是因为一只蜘蛛是8 条腿， 把它算作6 条腿， 每只蜘蛛少计算了862 (条)，少算的 14条里面有几个2 条，就是几只蜘蛛，即14 27 (只)。从总只数里减7 只蜘蛛，就得21714 (只)是蜻蜓和蝉的和。再假设这14 只全是蜻蜓，那么翅膀应是2 1428 (对)比实际多28 235 (对)，这是因为蝉是1 对翅膀，把它算成2 对了，每只蝉多算了1 对翅膀多出的这 5 对翅膀里面有几个1 对，就是几只蝉。求出了蝉，蜻蜓可求。解：( 1406 21 ) ( 86 ) 14 2 7 (只 ) - 蜘蛛21714 (只)
7、( 2 1423 ) ( 2 1 ) 5 1 5 (只) - 蝉1459 (只) - 蜻蜓答：蜘蛛7 只，蜻蜓9 只，蝉 5只。小试牛刀：1） 、大油瓶每瓶装4 千克，小油瓶每瓶装2 千克，现有200 千克油装了共60 个瓶子。问大小油瓶各多少个？2） 、龟鹤共有100 个头 ,350 只脚 .龟,鹤各多少只？3） 、学校有象棋,跳棋共 26 副,恰好可供120 个学生同时进行活动.象棋 2 人下一副棋 ,跳棋 6人下一副 .象棋和跳棋各有几副？4） 、松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20 个,雨天每天只能采12 个. 它一连几天采了112 个松籽 ,平均每天采14 个. 问这几天当中有几天有雨
8、？5） 、某小学举行一次数学竞赛考试，共15 道题，每做对一题得8 分，每做错一道题倒扣4分，小明得了72 分，他做对了多少道题？6） 、有 50 元人民币和100 元人民币共43 张，共 3400 元，问 50 元人民币和100 元人民币各多少张？附：练习题1、盒子里有大、小两种钢珠共30 个，共重266 克，已知大钢珠每个11 克，小钢珠每个7克。盒中大钢珠、小钢珠各有多少个？2、一个集邮爱好者买了10 分和 20 分的邮票共100 张，总值 18 元 8角。 这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？3、学校买来3 个排球和2 个足球，共花去111 元。每个足球比每个排球贵3 元。每个排球和每
9、个足球各多少元？4、 鸡兔同笼，头共20 个，足共62 只，求鸡与兔各有多少只？5、在一个停车场上，停了汽车和摩托车一共32 辆。其中汽车有4 个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108 个轮子。求汽车和摩托车各有多少辆？6、全班 46 人去划船，共乘12 只船，其中大船每只坐5 人，小船每只坐3 人，求大船和小船各有多少只？7、东风小学有3 名同学去参加数学竞赛，一份试卷共10 道题，答对一题得10 分，答错一道不但不得分，还要扣去3 分，这 3 名同学都回答了所有的题目，小明得74 分，小华得22分，小红得87 分，他们三人共答对多少题？8、在知识竞赛中，有10 道判断题，评分规定：每答
10、对一题得2 分，答错一题要倒扣一分。小明同学虽然答了全部的题目，但最后只得了14 分，请问，他答错了几题？9、某运输队为超市运送暖瓶500 箱，每箱装有6 个暖瓶。已知每10 个暖瓶的运费为5 元， 损坏一个的话不但不给运费还要陪成本10 元，运后结算时， 运输队共得1350 元的运费。 问、共损坏了多少只暖瓶？10、蜘蛛有8 条腿，蜻蜓有6 条腿和 2 对翅膀，蝉有6 条腿和 1 对翅膀。现在这三种小虫16 只，共有110 条腿和 14 对翅膀。问，每种小鸟各几只？11、螃蟹有10 条腿，螳螂有6 条腿和 1 对翅膀，蜻蜓有6 条腿和 2 对翅膀。现在这三种动物 37 只，共有250 条腿和
11、 52 对翅膀。每种动物各有多少只？12. 12 张乒乓球台上共有34 人在打球，问：正在进行单打和双打的台子各有几张？16. 鸡与兔共有100 只，鸡的脚比兔的脚多80 只，问鸡与兔各多少只？17. 大院里养了三种动物，每只小山羊戴着3 个铃铛，每只狮子狗戴着一个铃铛，大白鹅不戴铃铛小明数了数，一共9 个脑袋、 28 条腿、 11 个铃铛，三种动物各有多少只？18. 动物园饲养的食肉动物分大型动物和小型动物两类，规定老虎、狮子一类的大动物每次喂肉每头三斤， 狐狸、山猫一类小动物每三头喂一斤该动物园共有这两类动物100 头，每次需喂肉100 斤，问大、小动物各多少？19、 .在很久很久以前，传
12、说有九头一尾的九头鸟和九尾一头的九尾鸟。有一次这两种鸟栖息在树林里，一位猎人经过此地数了数，这两种鸟头共268 个，尾 332 个，那么有九头鸟和九尾鸟各多少只？20、 、昆虫笼里有蜘蛛、蜻蜓、蜜蜂共62 只，下有脚400 只，上有翅膀76 对，问蜘蛛、蜻蜓、蜜蜂各多少只？21、犀牛，羚羊，孔雀三种动物共有头26 个，脚 80 只，犄角20 只。已知犀牛有四只脚1只犄角，羚羊有4 支脚 2 只犄角 孔雀有 2 支脚，犀牛，羚羊，孔雀各多少只22、 100 个馒头 100 个和尚吃 , 大和尚每人吃4 个, 小和尚 4 人吃一个 , 则大和尚有多少个？小和尚有多少个？23、鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共五十双，各有多少鸡和兔？24、今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏免各几何？25、一队强盗一队狗，两队并作一队走，数头一共有三百六，数脚一共八百九，多少强盗多少狗？
