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1、1 第五章 线性系统的频域分析法考察一个系统的好坏， 通常用阶跃输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。另一方面， 控制系统中的信号可以表示成不同频率正弦信号的合成，而频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能，因此也可以应用频率特性研究线性系统的性能。应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。它以控制系统的频率特性作为数学模型， 以伯德图或其它图表为分析工具，来研究、分析控制系统的动态性能和稳态性能。频域分析法它不必直接求解系统的微分方程，而是间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。其也是一种图解法。本章将介绍频率特性的基本概念，典型环节和系统的频率特性的极坐标图和伯德图
2、，奈奎斯特稳定判据和频域性能指标与时域性能指标之间的关系，开环频域性能分析等内容。5.1 频率响应5.1.1 基本概念以图示 RC网络为例，说明频率特性的基本概念。网络微分方程为式中， T=RC。其传递函数为设输入为正弦电压则( )1C sR sTs( )( )dc tTc tr t dt2 经拉氏反变换，得电容两端输出电压式中，第一项为输出电压的暂态分量，将随时间增大而趋于零；第二项为输出的稳态分量，即可见，网络的稳态输出仍然是正弦电压，并具有三个特点：（1）其频率和输入电压频率相同，（2）幅值是输入电压的221T倍，（3）相角比输入延后arctanT 。221T和 arctanT 皆是的函
3、数，前者称为 RC网络的幅频特性，后者称为RC网络的相频特性。二者可以用一个式子来描述，即可知，函数 j11完整地描述了 RC网络在正弦电压作用下，稳态输出是电压幅值和相角随 变化的规律， j11就称为网络的频率特性。将频率特性和传递函数表达式比较可知，只要将传递函数中的s以 j置换，即得频率特性，即这一结论非常重要， 反应了幅频特性和相频特性与系统数学模型的本质关系，具有普遍性。arctan122111111jjTjTeej Tj TTlim ( )sin(arctan) 1tRc ttT T22( )sin(arctan)11tTR TRc tetTTT3 对于一般的线性定常系统，系统的输
4、入和输出分别为r(t)和 c(t)，系统的传递函数为 G(s)。式中，njsj,.,2,1,为极点。若则经拉氏反变换为：若系统稳定，则极点都在s左半平面。当t时, 则稳态分量为式中， kc1，kc2分别为而0,.,0,021tptptpneee).()()()()()(21nsssssssNsRsCsG)()(sin)(22jsjsRsRsRtRtrjskjsksskssksskjsjsRsssssssNsR sssssssNsCccnnnn2122112121.)().()()()( ).()()()(tjctjctsntstsekekekekektcn 2121.)(21tjctjcsek
5、ektc21)()( 2)()()(|)()( 2)()()(|)(21jG jRjsjsjsRsGjssCkjG jRjsjsjsRsGjssCkjsjscjsjsc)()(|)(|)(|)(|)(jGjjGjejGjGejGjG4 则故上述分析表明， 对于稳定的线性定常系统， 加入一个正弦信号， 它的稳态响应是一个正弦信号。三个特点：（1）其频率与输入信号的频率相同，（2）其幅值放大了倍，（3）相位移动了。和都是频率 的函数。二者可以统一由G(j)表示，而由频率特性的定义， G(j)就是系统的频率特性。它就是相当于把G(s)中的 s换成 j。结论：当传递函数中的复变量s用 j 代替时， 传
6、递函数就转变为频率特性， 反之亦然。故频率特性也是系统的数学模型。到目前为止， 我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、 传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下：)(1)( 2jGjcejG jRk)(2)( 2jGjcejG jRk)(sin()(2)()()()(21jGtjGRjeejGRekektcjGtjjGtjtjctjcs|)(|)(jGA)()(jG)(A)(jssGjG)()(5 5.1.2 频率特性定义：幅频特性 稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；相频特性 稳态响应与正弦输入信号的相位差， 它描述
7、系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性；幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量)()()(jeAjG，它也是 的函数。 G(j)称为频率特性。还可将 G(j)写成复数形式，即实频特性 Re()，为 G(j)的实部，即。虚频特性 Im()，为 G(j)的虚实部，即。频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得出的。如果不稳定， 则动态过程 c(t)最终不可能趋于稳态响应cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。 但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而且其规律性并不依赖于系统的稳定性。对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频率特性，但根据式由
8、传递函数还是可以得到其频率特性。5.1.3 频率特性的求法1. 在已知系统的微分方程或传递函数的情况下，当输入为正弦函数时，求其稳态解再求 G(jw)。2. 将传递函数中的s换为 jw 来求取。3. 实验法：是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法。如果在不知系统的传递函数或数学模型时，只有采用实验法。|)(|)(jGA)()(jG)Im()Re()(jjG)(Re)Re(jG)(Im)Im(jGjssGjG)()(6 5.1.4 频率特性的几何表示法工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：1 极坐标图极坐标图也称奈奎斯特 (Nyquist)图，又称幅相频率特性曲线（简称幅相曲线）。对
9、于一个确定的频率， 必有一个幅频特性的幅值和一个相频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率 从零变化到无穷时， 相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线(即极坐标图 )。2伯德图伯德(Bode)图也称对数幅频特性曲线。它是由两张图组成， 对数幅频曲线和对数相频曲线，以为横坐标， 对数分度，分别以和作纵坐标。对数幅频曲线的纵坐标的单位是分贝，记作 dB；对数相频曲线的单位是度。3对数幅相频率特性图，也称尼柯尔斯(Nichols) 图。5.2 典型环节的频率特性5.2.1 典型环节的频率特性及极坐标图1. 比例环节传递函数KsG)(频率特性j
10、jG)(幅频特性KA)(相频特性0)(可见，其幅相曲线为一点。2. 积分环节传递函数 ssG1)(频率特性 jjG1)()()(lg20jHjG)( j7 幅频特性1)(A相频特性90)(实频特性0)R e (虚频特性1)I m (可见，其幅相曲线在负虚轴上。3. 微分环节传递函数ssG)(频率特性jjG)(幅频特性)(A相频特性90)(实频特性0)R e (虚频特性)I m (可见，其幅相曲线在正虚轴上。4. 惯性环节传递函数 11)( TssG频率特性 11)( TjsG幅频特性 2211)( TA相频特性Ta r c t a n)(实频特性2211)R e ( T虚频特性221)I m
11、( TT可证惯性环节的幅相曲线是下半圆。0)()(0AA)(0)(0AAoooAA TA90)(0)(45)( 22 )(10)(1)(08 5. 一阶微分环节传递函数1)(TssG频率特性1)(TjsG幅频特性221)(TA相频特性Ta r c t a n)(实频特性1)R e (虚频特性T)I m (可见，其幅相曲线是平行于虚轴的直线。6. 振荡环节传递函数2222)(nnnsssG频率特性幅频特性相频特性2222222222112111)Im( 21)Re(TTToooAA TA90)()(45)(2)(10)(1)(022 222222222224)1(2)1(2)1(12)()(nn
12、nnnnnnnjjjjjG22 22224)1(1 )(nnA22 12arctan)(nn9 谐振频率 r与谐振峰值 Mr：当阻尼比 比较小时，在 =n附近将出现谐振峰值。可见，7. 二阶微分环节传递函数2222)(nnnsssGoonoAAA180)(0)(90)( 21)(0)(1)(0有：令0)( ddrA)707.00(21:2nr谐振频率为)707.00( 121)(2rrAM谐振峰值为：没有峰值，单调衰减时，)(707.0A的峰值在起始点处，时，)(10707.0AMrr反映系统的平稳性。一样与越大，越小，超调量为欠阻尼，由时域分析，此时系统越大。，且越大，越接近越小，且，时，%
13、10707.00prprnrrrMMMMM，引起环节共振，时，即临界阻尼时，)(0rrnrAM10 频率特性幅频特性相频特性8. 延迟环节传递函数sesG)(频率特性sjejG)(幅频特性1)(A相频特性)(3.57)()(rad实频特性cos)Re(虚频特性sin)Im(可见，其幅相曲线是一个单位圆。5.2.2 开环极坐标图1. 开环极坐标图的绘制方法：(1) 用幅频特性和相频特性计算作图设开环传函可分解为典型环节的乘积形式开环频率特性为2212arctan)(nnnnnnnjjjjG2)1(2)()(2222222 22224)1()(nnAoo noAAA180)()(90)(2)(0)
14、(1)(0单调减小增大)(1)(0)(1)(0AAo)()()()(21sGsGsGsGn)()()()(21jGjGjGjGn11 开环幅频特性为开环相频特性为分别计算出各环节的幅值和相角，按上式便可计算出开环幅值和相角，从而就可绘制出开环极坐标图。例 5-1 如图所示 RC 电路，其传递函数为试绘制系统极坐标图。解：系统开环频率特性为系统幅频特性为：系统相频特性为：(2) 按实频特性和虚频特性计算作图把开环频率特性按实部和虚部分开，然后再用一系列值代入，计算相应的实频和虚频值，绘制出开环幅相曲线。(3) 由开环极点零点分布图绘制由开环传递函数零极点形式先标出每一个零点和极点，当s=j时，可
15、作出相应零点或极点对应的矢量（频率特性） ，根据所对应的值，计算出有关矢量的长度和角度，就能求得频率特性。如例5-2。)()()()(21nAAAA)()()()(21n)( 1)(RCT TsTssG1)( TjTjjG2211)( TTATarctan90)(曲线。，描点连线，可得幅相和取值，计算相应的对)()(A可证明为圆的一部分。由22221)Im( 21)Re(12 2. 开环极坐标图的近似绘制：(1) 起点和终点；(2) 与实轴的交点；(3) 变化范围。设开环传递函数为开环频率特性可以表示为a. 极坐标的起点极坐标的起点，即 0 时，Gk(j0+)在复平面上的位置。0 型系统：Gk
16、(j 0) =K0I 型及 I 型以上系统：幅值相角可见，起点的位置与系统的型别，即积分环节个数有关。b. 极坐标的终点极坐标的终点，即 +时， Gk(+j)在复平面上的位置。()()kn mKGjjkKG121211221122)12()1()12()1()(ninjjjimkmlllkksTsTsTssssKsG12121122112212)1(12)1()(ninjjjimkmlllkkTjjTjTjjjjKjG）（）（）（vK j0(vKvj0213 幅值相角可见，幅相曲线的终点趋于坐标原点，只是入射角不同， 入射角的大小取决于分母多项式的次数与分子多项式的次数之差n-m。c. 与实轴的交点令0)(Im(jGk，解得x；将其代入0)(Re(jGk即得与实轴的交点。d. 变化范围（即幅相曲线所在象限）可根据相角范围决定所在象限。也可由实频和虚频范围确定。3. 开环极坐标图绘制例 5-3 设某
