《【江苏省备战2010高考数学】压轴题跟踪演练系列四》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【江苏省备战2010高考数学】压轴题跟踪演练系列四（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -四川省备战四川省备战 2013 年高考数学年高考数学压轴题跟踪演练系列四压轴题跟踪演练系列四-1 （本小题满分 14 分）已知 f(x)=222 xax(xR)在区间1，1上是增函数.（）求实数 a 的值组成的集合 A；（）设关于 x 的方程 f(x)=x1的两个非零实根为 x1、x2.试问：是否存在实数 m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.解：（）f(x
2、)=222)2(224 xxax= 222)2()2(2 xaxx，f(x)在1，1上是增函数，f(x)0 对 x1，1恒成立，即 x2ax20 对 x1，1恒成立. 设(x)=x2ax2，方法一：(1)=1a20， 1a1，(1)=1+a20.对 x1，1，f(x)是连续函数，且只有当 a=1 时，f(-1)=0 以及当 a=1 时，f(1)=0A=a|1a1. 方法二：2a0， 2a0x1，x2是方程 x2ax2=0 的两非零实根，x1+x2=a， 从而|x1x2|=212 214)(xxxx=82a.x1x2=2，1a1，|x1-x2|=82a3.要使不等式 m2+tm+1|x1x2|对
3、任意 aA 及 t1，1恒成立，当且仅当 m2+tm+13 对任意 t1，1恒成立，即 m2+tm20 对任意 t1，1恒成立. 设 g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一：g(1)=m2m20， g(1)=m2+m20，m2 或 m2.所以，存在实数 m，使不等式 m2+tm+1|x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或 m2.方法二：当 m=0 时，显然不成立；当 m0 时，m0， m0，y20.由 y=21x2， 得 y=x.过点 P 的切线的斜率 k切= x1，直线 l 的斜率 kl=切k1=-11 x，直线 l 的方程为 y21x12=11 x(
4、xx1)，方法一：联立消去 y，得 x2+12 xxx122=0.M 是 PQ 的中点x0=221xx =-11 x，y0=21x1211 x(x0x1).消去 x1，得 y0=x02+2 021x+1(x00)，PQ 中点 M 的轨迹方程为 y=x2+2 021x+1(x0).方法二：由 y1=21x12，y2=21x22，x0=221xx ，得 y1y2=21x1221x22=21(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，- 4 -则 x0=2121 xxyy =kl=-11 x，x1=01 x，将上式代入并整理，得y0=x02+2 021x+1(x00)，PQ 中点 M 的轨迹方程为
5、 y=x2+2 021x+1(x0).（）设直线 l:y=kx+b，依题意 k0，b0，则 T(0，b).分别过 P、Q 作 PPx 轴，QQy 轴，垂足分别为 P、Q，则.| | SQST SPST | | | |21yb yb QQOT PPOTy=x221由 消去 x，得 y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+by1+y2=2(k2+b)，则y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.| | SQST SPST2111 yy211 yy21 by1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是（2，+）.| | SQST SPST方法二：=|b|=|b|.| | SQST
6、SPST2121 yyyy 22)(2 bbk 当 b0 时，=b=+22；| | SQST SPST22)(2 bbk bbk)(22 bk22- 5 -当 b0，于是 k2+2b0，即 k22b.所以=2.| | SQST SPSTbbb )2(2当 b0 时，可取一切正数，bk22的取值范围是（2，+）.| | SQST SPST方法三：由 P、Q、T 三点共线得 kTQ=KTP，即=.22 xby 11 xby 则 x1y2bx1=x2y1bx2，即 b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是 b=x1x2.122 212 1221 21xxxxxx21=+=+2.| | SQST S
7、PST| |21yb yb1|21|21xx1|21|21xx |12 xx|21 xx可取一切不等于 1 的正数，|12 xx的取值范围是（2，+）.| | SQST SPST3 （本小题满分 12 分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3，一旦发生，将造成 400 万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为 0.9 和 0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用
8、+发生突发事件损失的期望值.）本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分 12 分.22- 6 -解：不采取预防措施时，总费用即损失期望为 4000.3=120（万元） ；若单独采取措施甲，则预防措施费用为 45 万元，发生突发事件的概率为10.9=0.1，损失期望值为 4000.1=40（万元） ，所以总费用为 45+40=85（万元）若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为 30 万元，发生突发事件的概率为 10.85=0.15，损失期望值为 4000.15=60（万元） ，所以总费用为 30+60=90（万元） ；若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费
9、用为 45+30=75（万元） ，发生突发事件的概率为（10.9） （10.85）=0.015，损失期望值为 4000.015=6（万元） ，所以总费用为 75+6=81（万元）.综合、，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.4 （本小题满分 14 分）已知., 2 , 1,1, 011Lnaaaaaaannn满足数列（I）已知数列极限存在且大于零，求（将 A 用 a 表示） ；nannaA lim（II）设;)(:, 2 , 1,1AbAbbnAabnn nnn证明L（III）若都成立，求 a 的取值范围.L, 2 , 121|nbnn对本小题主要考查数列、数列
10、极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分 14 分.解：（I）由两边取极限得对且存在nnnnnnaaaAaAa1),0(lim,lim1.24, 0.24,122aaAAaaAAaA又解得（II）.11,11AbaAbaaaAbann nnnn得由都成立对即L, 2 , 1)(.)(11111nAbAbbAbAb AbAAbAabnn nnnnnn（III）.21| )4(21|,21|2 1aaab得令- 7 -., 2 , 121| ,23.23, 14.21| )4(21|22都成立对时现证明当解得Lnbaaaaaann（i）当 n=1 时结论成立（已验
11、证）.（ii）假设当那么即时结论成立,21|,) 1(kkbkknk kkk kAbAAbAbb21 |1 | )(| |1故只须证明.232|,21 |1成立对即证aAbAAbAk k.21 21 21| ,23. 2|, 1212|. 2, 14,23, 42 2411222kkkkkkkbaAbAbAAbAaaaaaaaA时故当即时而当由于即 n=k+1 时结论成立.根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立.故).,23, 2 , 121|的取值范围为都成立的对anbnnL5 （本小题满分 14 分，第一小问满分 4 分，第二小问满分 10 分）已知，函数.aR2( )|f xxx
12、a()当时，求使成立的的集合；2a ( )f xxx()求函数在区间上的最小值.( )yf x1 2，本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分 14 分.解：（）由题意，.2( )2f xxx当时，解得或；2x 2( )(2)f xxxx0x 1x 当时，解得.2x 2( )(2)f xxxx12x - 8 -综上，所求解集为.0 1 12，（）设此最小值为.m当时，在区间上，.1a 1 2，32( )f xxax因为，22( )323 ()03fxxaxx xa(1 2)x，则在区间上是增函数，所以.( )f x1 2，(1)1mfa 当时，在区
13、间上，由知12a1 2，2( )()0f xxxa( )0f a .( )0mf a当时，在区间上，.2a 1 2，23( )f xaxx.22( )233 ()3fxaxxxax若，在区间内，从而为区间上的增函数，3a (1 2)，( )0fx( )f x1 2，由此得 .(1)1mfa若，则.23a2123a当时，从而为区间上的增函数；213xa( )0fx( )f x213a，当时，从而为区间上的减函数.223ax( )0fx( )f x223a，因此，当时，或.23a(1)1mfa(2)4(2)mfa当时，故；723a4(2)1aa(2)4(2)mfa当时，故.733a14(2)aa (1)1mfa综上所述，所求函数的最小值111274(2)23 713aaamaaaa ，当时；0，当时；，当时；，当时6 （本小题满分 14 分，第一小问满分 2 分，第二、第三小问满分各 6 分）设数列的前项和为，已知，且 nannS1231611aaa，1(58)(52)1 2 3nnnSnSAnB nL，- 9 -其中为常数.A B，()求与的值；AB()证明：数列为等差数列； na()证明：不等式对任何正整数都成立.51mnmnaa am n，本小题
