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1、1三、导数及其应用（选修三、导数及其应用（选修 2-22-2）2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编导数导数1.（20102010 全国卷全国卷 2 2 理数理数 1010）若曲线1 2yx在点1 2, a a 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，则a ( A )A.64 B.32 C.16 D.8 【命题意图命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公 式，考查考生的计算能力.【解析解析】33 2211,22yxka ，切线方程是13 221()2yaaxa ，令0x ，1 23 2ya，令0y ，3xa，三角形的面积是1 21331
2、822saa，解得64a .2.2.（20102010 辽宁文数辽宁文数 1212）已知点P在曲线4 1xye上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是( D )A.0,4) B.,)4 2 C.3(,24D.3, )4解析：解析：选 D.244 1212xxxx xeyeeee ，12,10x xeye Q，即1tan0 ，3, )43.3.（20102010 辽宁理数辽宁理数 1010）已知点 P 在曲线 y=4 1xe 上，a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 a 的取值范围是( D )A.0,4) B.,)4 2 C.3(,24D.3, )4【命题立意命题立意】本题考查了导数
3、的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。【解析解析】因为 2441(1)2xxxxeyeee ，即 tan a-1,所以3 44.4.（20102010 全国卷全国卷 2 2 文数文数 7 7）若曲线2yxaxb在点(0, )b处的切线方程是10xy ，则( A )2A.1,1ab B.1,1ab C.1,1ab D.1,1ab 【解析解析】本题考查了导数的几何意义及过曲线上一点处的切线方程的求法. 02xyxaa ， 1a ，(0, )b在切线10xy ， 1b 5.5.（20102010 江西理数江西理数 1212）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时刻五
4、角星露出水面部分的图形面积为 00S tS，则导函数 yS t的图像大致为（ A ）【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除 C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除 B；考察 A、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择 A。6.6.设R R，函数a1,0,( ) () 1,0.axxf x x xax () 当 a=2 时，试确定函数的单调区间；( )f x() 若对任何R R，且，都有，求 a 的取值范围. x0x ( )1f
5、xx（）解：当时， 0x 1( )2f xx= -+因为，所以在上为增函数； 01)(2xxf( )f x)0 ,(当时，0x ( )(2)1f xx x=-， 由，解得， 由，解得， 31( )2fxxx=-( )0fx2 3x( )0fx( )1f xx() 11x xax axx0),由已知得 x=alnx，1 2 x=a x， 解德 a=2e,x=e2,Q两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为 k=f(e2)= 1 2e,Q切线的方程为 y-e=1 2e(x- e2). （2）由条件知 当 a.0 时，令 h (x)=0,解得 x=24a,8所以当 0 24a时，h (x)0，
6、h(x)在（0，24a）上递增。所以 x24a是 h(x)在（0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是 h(x)的最小值点。所以 （a）=h(24a)=2a-aln24a=2当 a 0 时，h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在（0，+）递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值 （a）的解析式为 2a(1-ln2a) (ao) （3）由（2）知 （a）=2a(1-ln2a) 则 1（a ）=-2ln2a，令 1（a ）=0 解得 a =1/2 当 00，所以 （a）在(0,1/2) 上递增 当 a1/2 时， 1（a ）0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。max1(1)
7、2ffa。14.14.（20102010 安徽文数安徽文数 2020） sincos1f xxxx，02x，求函数 f x的单调区间与极值。【命题意图命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合 应用数学知识解决问题的能力.【解题指导解题指导】 （1）对函数 sincos1f xxxx求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于 0 得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单 调性，求极值.,( )12().4 23( )0()422 ( )xxxxxxxx 解：由f (x)=si nx-cosx+x+1, 00. （）若 a=1，求曲线
8、y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程；（）若在区间1 1,2 2上，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围.【解析解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式 等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分.（）解：解：当 a=1 时，f（x）=323xx12，f（2）=3；f(x)=233xx, f(2)=6.所以曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程为 y-3=6（x-2） ，即 y=6x-9.（）解：解：f(x)=2333 (1)axxx ax.令 f(x)=0，解得 x=0 或 x=1 a.17以下分两种情况讨论：（
9、1）若110a2a2，则，当 x 变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：X102，01 20，f(x)+0-f(x)Z极大值当1 1xfx2 2 ，时，（）0等价于5a10,()0,82 15a( )0,0.28ff即解不等式组得-52，则110a2.当 x 变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X102，01 a0，1 a1 1 a 2，f(x)+0-0+f(x)Z极大值极小值Z当1 1x2 2 ，时，f（x）0 等价于1f(-)2 1f()0,a 0, 即25 8 11-0.2aa 0,解不等式组得252a或2 2a .因此 21 时，2x-20,从而2x-2e10,0,Fxe
10、 又所以(x)0,从而函数 F（x）在1,+)是增函数。又 F(1)=-1-1ee0 ，所以x1时，有F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x).)证明：（1）若121212(1)(1)0,),1.xxxxxx12由（）及f (xf (x则与矛盾。（2）若121212(1)(1)0,),.xxxxxx12由（）及f (xf (x得与矛盾。根据（1） （2）得1212(1)(1)0,1,1.xxxx不妨设由（）可知，)2f (x)2g(x,则)2g(x=)2f (2-x，所以)2f (x)2f (2-x,从而)1f (x)2f (2-x.因为21x ，所以221x，又由（）可知函数 f(x)在区
11、间（-，1）内事增函数，所以1x22x,即12xx2.1922.22.（20102010 福建文数福建文数 2222）已知函数 f（x）=321 3xxaxb的图像在点 P（0,f(0)）处的切线方程为 y=3x-2()求实数 a,b 的值；()设 g（x）=f(x)+1m x是2,上的增函数。（i）求实数 m 的最大值；(ii)当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。202123.23.（20102010 全国卷全国卷 1 1 理数理数 2020）已知函数(
12、 )(1)ln1f xxxx.（）若2( )1xfxxax，求a的取值范围；（）证明：(1) ( )0xf x .24.24.（20102010 湖北文数湖北文数 2121）设函数321axxbxc32f（x）=，其中 a0，曲线xyf （）在点 P（0，0f （）处的切线方程为 y=1（）确定 b、c 的值（）设曲线xyf （）在点（11xxf，（）及（22xxf，（）处的切线都过点（0,2）证明：当12xx时，12()()fxfx（）若过点（0,2）可作曲线xyf （）的三条不同切线，求 a 的取值范围。2225.25.（20102010 湖北文数湖北文数 1919）已知某地今年年初拥有居
13、民住房的总面积为 a（单位：m2） ，其中 有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房， 同事也拆除面积为 b（单位：m2）的旧住房。 （）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式： （）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年 拆除的旧住房面积 b 是多少？（计算时取 1.15=1.6）26.26.（20102010 山东理数山东理数 2222）已知函数1( )ln1af xxaxx()aR.()当1 2a 时，讨论( )f x的单调性；（）设2( )24.g xxbx当1 4a 时，若对任意1(0,2)x ，存在
14、21,2x ，使12()()f xg x，求实数b取值范围.23（）当1 4a 时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ，有11f(x )f(1)=-2，又已知存在21,2x ，使12()()f xg x，所以21()2g x，21,2x ，即存在1,2x，使21( )242g xxbx ，即2922bxx，即9 22bxx11 17,24，所以1122b ，解得11 4b ，即实数b取值范围是11,)4。【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研24究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出( )f x的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出( )g x在闭区间1
