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1、 1学而思教育集团学而思教育集团智康智康 1 对对 1功底测试题功底测试题-高数（南京）高数（南京）姓名： 电话号码： 分数： 说明：满分 100 分，考试时间 60 分钟；请把选择题和填空题答案写进答题卡。答题卡一、单项选择（共一、单项选择（共 12 小题；每小题小题；每小题 4 分，共分，共 48 分）分）题号123456789101112答案二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分）题号1314151617答案试题试题一、本题共一、本题共 12 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是分
2、，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是 符合题目要求的符合题目要求的 1. 已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，M =1，3，5，7，N =5，6，7，则 Cu( M UN)=学科网(A) 5，7 （B） 2，4 （C）2，4，8 （D）1，3，5，6，7学科网2. 函数 y=x(x0)的反函数是学科网（A）2yx（x0） （B）2yx （x0）学科网（C）2yx（x0） （D）2yx （x0） 学科网3. 函数22log2xyx的图像学科网（A） 关于原点对称 （B）关于主线yx 对称学科网 （C） 关于y轴对称 （D）关于直线yx对称学科网4. 已知ABC 中，12cot5A
3、，则cos A 学科网(A) 12 13(B) 5 13(C) 5 13 (D) 12 13学科网5. 已知正四棱柱1111ABCDABC D中，1AA=2AB，E为1AA中点，则异面直线BE学科网与1CD所形成角的余弦值为学科网2（A）10 10(B) 1 5(C) 3 10 10(D) 3 5学科网6. 已知向量 a = (2,1)， ab = 10，a + b = 5 2，则b =学科网（A）5 （B）10 （C）5 （D）25学科网7. 设向量，满足：，以，的模为边长构成三ab| 3a| 4b0a babab角形，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为学科网1A B C D34568
4、. 已知是实数，则函数的图象不可能是a( )1sinf xaax 9. 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的22221(0,0)xyababA1两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是,B C1 2ABBCuuu ruuu rA B C D2351010.对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且M( )f x12,x xR，有下列结论中正确的是21xx212121()()()()xxf xf xxxA若，则1( )f xM2( )g xM12( )( )f xg xM B若，且，则1( )f xM2( )g xM( )0g x 1 2( ) ( )f xMg x C若，
5、则1( )f xM2( )g xM12( )( )f xg xMD若，且，则1( )f xM2( )g xM1212( )( )f xg xM11.某单位有 7 个连在一起的车位，现有 3 辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的 4 个车3位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ） A16B18C24D3212.已知椭圆2 214xy的焦点为12,F F，在长轴 A1A2上任取一点 M，过 M 作垂直于A1A2的直线交椭圆于点 P，则使得120PFPFuuu r uuu u r 的点 M 的概率为（ ）A2 3B6 3C2 6 3D1 2二、填空题：本题共二、填空题：本题共 5 小题，共小题，共
6、 20 分，把答案填在题中的横线上分，把答案填在题中的横线上13.在平面直角坐标系中，已知圆422 yx上有且仅有四个点到直线xOy的距离为 1，则实数 c 的取值范围是_来源:学科网 ZXXK1250xyc14.设定义在区间 20,上的函数的图像与的图像的交点为，过6cosyx5tanyxP点作轴的垂线，垂足为,直线与函数的图像交于点,则线段的Px1P1PPsinyx2P12PP长为_15.已知函数 01012x,x,x)x(f,则满足不等式)x(f)x(f212的的取值范围是x_16.若函数( )(13tan )cosf xxx，02x，则( )f x的最大值为 17.现有 5 根竹竿，它
7、们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次 随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 .三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 3 小题，共小题，共 32 分，分，18. (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系中，已知点xOy( 1, 2), (2,3),( 2, 1)ABC （1）求以线段为邻边的平行四边形两条对角线的长,AB AC（2）设实数 满足，求 的值t()0ABtOC OCuuu ruuu ruuu rgt19. (本题满分 12 分)4)0( 12222 baby ax3322（）求 a,b 的值；（）C 上是否存在点
8、 P，使得当 绕 F 转到某一位置时，有 OBOAOP成立？l若存在，求出所有的 P 的坐标与 的方程；若不存在，说明理由。l20. (本题满分 12 分)三棱锥中，ABCP o90BAC,22ABBCPCPBPA （1） 求证：面面PBCABC （2） 求二面角的余弦值CAPB已知椭圆 C: 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 与 C 相交于 A、Bl22两点，当 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 的距离为ll5学而思教育集团学而思教育集团智康智康 1 对对 1参考答案参考答案-高数（南京）高数（南京）一、单项选择（共一、单项选择（共 12 小题；每小题小题；每小题 4 分，共分，共 48
9、 分）分）题号123456789101112答案CBADCCBDCCCB二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分）题号1314151617答案（-13，13）2 3( 1,21)20.2三、解答题三、解答题18. 19.解解设,0 , cF 当l的斜率为 1 时，其方程为Ocyx, 0到l的距离为2200cc故 222c， 1c由 33ace6得 3a，22cab=2（）C 上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OBOAOP成立。由 （）知 C 的方程为22x+23y=6. 设).,(),(2211yxByxA() ) 1( xkylxl的
10、方程为轴时，设不垂直当C OBOAOPP使上的点成立的充要条件是）点的坐标为（2121,yyxxP， 且6)(3)(22 212 21yyxx整理得 664323221212 22 22 12 1yyxxyxyx632 , 6322 22 22 12 1yxyxCBA上，即在、又故 03322121yyxx 将 并化简得代入, 632) 1(22yxxky0636)32(2222kxkxk于是 2221326 kkxx, 21xx=223263 kk ,22212 21324)2)(1(kkxxkyy代入解得，22k，此时2321 xx于是)2(2121xxkyy=2k， 即)2,23(kP因
11、此， 当2k时，)22,23(P， 022 yxl的方程为；当2k时，)22,23(P， 022 yxl的方程为。（）当l垂直于x轴时，由)0 , 2(OBOA知，C 上不存在点 P 使OBOAOP成立。7综上，C 上存在点)22,23(P使OBOAOP成立，此时l的方程为022 yx20.解：（1） 证明：取BC中点 O，连接 AO，PO，由已知BAC 为直角三角形， 所以可得 OA=OB=OC，又知 PA=PB=PC， 则POAPOBPOC2 分POA=POB=POC=90，POOB,POOA,OBOA=O 所以 PO面 BCD， 4 分面 ABC，面 PBC面 ABC5 分PO （2） 解：过 O 作 OD 与 BC 垂直，交 AC 于 D 点， 如图建立坐标系 Oxyz则，)0 ,21,23(A)0 , 1, 0( B)0 , 1 , 0(C)3, 0 , 0(P7 分)3, 1 , 0(),0 ,21,23(BPBA设面 PAB 的法向量为 n1=(x,y,z)，由 n1 =0 0，n1=0 0,BABP可知 n1=(1,-,1)3同理可求得面 PAC 的法向量为 n1=(3,1)103分cos(n1, n2)=12 分2121 nnnn 6565第 18 题答案图
