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1、共共 3 页页 第第 1 页页0 08 8- -0 09 9- -2 2 高高数数（ A AB B）期期末末A A 参参考考答答案案一一. .填空题（本题共填空题（本题共 9 9 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 3636 分）分）1 1函数的单调增加区间为； 11( )2 d (0)xF xt xt10,42 2已知，则；20 60arctan()d lim1ttxaxxt3a 3 3曲线的拐点是；32635yxxx(2, 5)4 4曲线的斜渐近线的方程是；323(2)xyx14 33yx5 5二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式是；265exyyy*2exyAx6 6设
2、是常数，若对，有，则；0x 0ln dln2xxt tx2 e7 7；2403sind4x x8 8设是连续函数，且，则； ( )f x 0( )sin( )df xxf xx 02( )d1f xx9 9设，则.21( )cosdxf xtt101( )dsin12f xx 二二. .按要求计算下列各题（本题共按要求计算下列各题（本题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，满分分，满分 3030 分）分）1010 300sind lim(1 cos )xxttt xx解解 3330033000sinsindd2sin2lim2limlim(1 cos )33xxxxxttttxtt
3、 xxxx11.11. 222404(1) sin(1) dxxxxx解解 （）222242222 0004(1) sin(1) d4d4sin 2 dxxxxxxxxt t sinxt共共 3 页页 第第 2 页页共共 3 页页 第第 3 页页1212已知的一个原函数为，求 ( )f x(1 sin )lnxx( )dxfxx解解 1( )d( )( )d(1 sin )ln(1 sin )lnxfxxxf xf xxxxxxxCsin( cos1 sin )lnxxxxxC 1313设，求常数、，使得2 20sin( )2d ,( )1xxtf xt p xaxbxctabc。 (0)(0
4、),(0)(0),(0)(0)pfpfpf解解 由 得 ，由得(0)(0)pf2c (0)(0)pf2200dsin 11xxtxxbtx（2 2 分）分） ，由得，。0(0)(0)pf22202cos2 (sin )2311 xxx xxaxx 3 2a 1414。4 01 sin2d1 sin2xxx 解解 444 0001 sin21dtandlncosln21 sin2442xxxxxx三（三（1515） （本题满分（本题满分 8 8 分）分）求微分方程满足初始条件，sin2exyyx01xy的特解.00xy解解 齐次微分方程的通解为，非齐次微分方程0yy12cossinyCxCx的一
5、个特解为于是原微分方程的通解为sin2exyyx*cose2xxyx 代入初始条件得12cossincose2xxyCxCxx1sincose22xxyxx 四（四（1616） （本题满分（本题满分 7 7 分）分）设函数在区间上连续，且恒取正值，若对f0,),(0,)x 在上的积分(平)均值等于与的几何平均值，试求的表达式.f0,)(0)f( )f x( )f x解解 ，等式两端对 01( )d(0) ( )xf ttff xx0x 0( )d(0) ( )xf ttxff xx共共 3 页页 第第 4 页页求导，记，令，( )f xy3 222 (0)yyyxxf1 2yzd11 d(0)
6、zzxxxf ，。11dd11eed(0)(0)xxxxzCxCxxff2(0)( ) 1(0)ff x Cfx 五（五（1717） （本题满分（本题满分 7 7 分）分）在平面上将连接原点和点的线段xOy(0,0)O(1,0)A（即区间）作等分，分点记作，过作抛物线OA0,1n,0kkPn1,2,1knLkP的切线，切点为， （1 1）设三角形的面积为，求；（2 2）求极限2yxkQkkPQ AkSkS111limnknkSn解解 （1 1）设，切线方程，切线过，(,)kkkQ xy2 kkyx22()kkkyxxxx,0kkPn解得2222241,12 12kkkkkkkkkxySynnn
7、nn（2 2）21112 2011111lim2 lim12(1)d6nnknnkkkkSx xxnnnn六（六（1818） （本题满分（本题满分 6 6 分）分）试比较与的大小，并给出证明. （注：若（注：若21ln 12通过比较这两个数的近似值确定大小关系，则不得分）通过比较这两个数的近似值确定大小关系，则不得分）解解 设当时， 21ln 12 21( )ln(1)2f xxxx0x ，21( )1011xfxxxx ( 2)ln(12)21(0)0ff 七（七（1919） （本题满分（本题满分 6 6 分）分）设在区间上连续可导，求证： ( )f x0,2(0)(2)0ff.2002( )dmax( ) xf xxfx 解解 2222 0000( )d( )d(1)(1) ( )(1)( )df xxf xxxf xxfxx2002021d max( )max( ) xxxxfxfx
