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1、1第一章 可 靠 性 概 论1-3 常用失效分布内 容 提 要内 容 提 要二、威布尔分布 三、正态分布 四、对数正态分布习 题 一答案一、指数分布1.失效概率密度函数 f（t） 2.累积失效概率函数 F（t） 3.可靠度函数R（t） 4.失效率函数( ) t 5. 平均寿命 6. 可靠寿命rT 7. 中位寿命T0.5 8. 特征寿命1eT2 1-3 常用失效分布即使不知道具体的分布函数不知道具体的分布函数，但如果 已知失效分布的类型，也可以通过对分布 的参数估计求得某些可靠性特征量的估计 值。如已知产品的失效分布函数已知产品的失效分布函数，则可求 出可靠度函数、失效率函数和寿命特征量。是指其
2、失效概率密 度函数或累积失效概率函数，它与可靠 性特征量有关密切的关系。产品的失效分布产品的失效分布3 因此，在可靠性理论中，研究产品的 失效分布类型研究产品的 失效分布类型是一个十分重要十分重要的问题。一、指数分布在可靠性理论中，指数分布是最基本、最常用的分布，适合于失效率为常数的情 况最基本、最常用的分布，适合于失效率为常数的情 况。指数分布指数分布不但在电子元器件偶然失效期普遍使用，而且在复杂系统和整机方面 以及机械技术的可靠性领域也得到使用。4 指数分布一般记为。( )TE1.失效概率密度函数 f（t）（1-17）( )tf te=(0)t 式中 指数分布的失效率， 为一常数常数。5指
3、数分布指数分布的失效概率密度函数f（t） 的图形如图110所示。62.累积失效概率函数 F（t）累积 失效概率 函数F（t）的图形如 图111所示。（118）)0(1 )()(0 = tedtedttftFtttt73.可靠度函数R（t）（119）( )1( )tR tF te= =(0)t 可靠度 函数R（t）的 图形如图1-12 所示。8 4.失效率函数( ) t ( ) t =常数(1 - 20)失效率函数的图形如图113所示。9 5. 平均寿命（MTTF或MTBF）)( 0=dttR（121）10 =dtet因此，当产品寿命服从指数分布时， 其平均寿命与失效率互为倒数互为倒数。10 6
4、. 可靠寿命rT 给定可靠度 r 时，根据式（119） 可得： ()rT rR Ter=将上式两边取自然对数，可得： rTrln=所以（1-22）rTrln1 =11 7. 中位寿命 T0.5将 r = 0.5 代入式（122）可得：（1-23） 1693. 0 5 . 0ln1 5 . 0=T128. 特征寿命1eT指数分布有一个重要特性重要特性，即产品工作 了t0 时间后，它再工作 t 小时的可靠度与已工 作过的时间与已工 作过的时间 t0 无关（无记忆性无记忆性），而只与时 间只与时 间 t 的长短有关的长短有关，证明见讲义。可得：代入式（1-22）1= er1ln11 1= eTe13
5、二、威布尔分布它能全面地描述浴盆失效率曲线浴盆失效率曲线的各个 阶段。当威布尔分布中的参数不同时，它可以 蜕化为指数分布、瑞利分布和正态分布指数分布、瑞利分布和正态分布。威布尔分布威布尔分布在可靠性理论中是适用范 围较广较广的一种分布。大量实践说明，凡是因为某一局部失效或 故障所引起的全局机能停止运行的元件、器件、 设备、系统等的寿命服从威布尔分布；特别特别在 研究金属材料的疲劳寿命，如疲劳失效、轴承 失效都服从威布尔分布，简记：。),(mWT14 1.失效概率密度函数( )f t（1-24）1()( )(; ,0)mmtm tf tet m =式中 m 形状参数；尺度参数；位置参数。 15(
6、 )ft的图形如图114所示。)()( 1, 1)a (141tfm的形状不同时图=)( )( 1, 2)b(141tfm的位置不同时图=16)( )( 0, 2) c (141tfm的尺度不同时图=( )ft的图形如图114所示。172.累积失效概率函数 F（t）（1-25 ）() ( )1(;,0)mt F tet m = F（t）的图形 如图1 15所示。183.可靠度函数 R（t）R（t）的图形 如图1- 16所示。() ( )(;,0)mt R tet m =（1-26）194.失效率函数( ) t(1-27）1 ( )(;,0)mm ttt m=的图形如 图1-17所示。( ) t
7、205 .三个参数（m、）的意义（1）形状参数 m威布尔分布的失效概率密度曲线、累积 失效概率曲线、可靠度曲线以及失效率曲线 的形状都随形状都随 m 值值不同而不同，所以把 m 称为形状参数形状参数。从图1-14图1-17中可以看出：各分布曲线的形状如图114117所示。21当m1时，曲线随时间增加出现峰值 而后下降；( )f t从上图可以看出：)()( 1, 1)a (141tfm的形状不同时图=( )f t当m=3时，曲线已接近正态分布。通常 m =34 即可当做正态分布。( )f t当m0时，表示这些元件在起始时间内 不会失效，曲线由=0时的位置向右平移 |的距离。此时，可将称为最小保证
8、寿命。( )f t)( )( 1, 2)b(141tfm的位置不同时图=当= 0时，曲线为二参数威布尔分布。)(tf24（3）尺度参数由图（c）可见，m = 2、= 0 时不同值 的失效概率密度曲线。当当值增大时，的高 度变小而宽度变大值增大时，的高 度变小而宽度变大。故把称为尺度参数。称为尺度参数。( )f t通常将称 为真尺度参数， 当 m 值及值 固定不变。)( )( 0, 2) c (141tfm的尺度不同时图=值不同时 威尔布分布的失 效概率密度曲线 的高度及宽度均 不相同。25三、正态分正态分布正态分布在数理统计学中是一个最基本的分布，在可靠性技术中也经常用到它，如材料 强度、磨损
9、寿命、疲劳失效、同一批晶体管放 大倍数的波动或寿命波动等等材料 强度、磨损寿命、疲劳失效、同一批晶体管放 大倍数的波动或寿命波动等等都可看作或近似 看作正态分布。在电子元器件可靠性的计算中，正态分布正态分布主要应用于元件耗损和工作时间延长而引 起的失效分布，用来预测或估计可靠度有足 够的精确性。26 由概率论知，只要某个随机变量是由大量 相互独立、微小的随机因素的总和所构成，而 且每一个随机因素对总和的影响都均匀地微 小随机变量是由大量 相互独立、微小的随机因素的总和所构成，而 且每一个随机因素对总和的影响都均匀地微 小，那么，就可断定这个随机变量必近似地服 从正态分布。近似地服 从正态分布。
10、简记为：) (2、NT271.失效概率密度函数( )f t（128）22()21( )2t f te =()t +式中随机变量的 均值均值； 随 机变量的 标准差标准差。282.累积失效概率函数 F（t）（129）22()21( )2tdttF te =F（t）的图形如 图1-19所示29 若令代入（129）式，tz =21 21( )2zz dzze=（130）则可以得到标准化正态分布标准化正态分布的累积失效概率函数。303.可靠度函数 R（t）22()21( )2tdttR te =（1-31）R（t）的图形 如图1- 20所示。314. 失效率函数( ) t2222()() 22( )1
11、1( )/( )22ttdttf tteR te =(1-32)的图形如图1-21所示 。( ) t32四、对数正态分布在可靠性理论中，对数正态分布对数正态分布用于由裂痕 扩展裂痕 扩展而引起的失效分布。如疲劳、腐蚀疲劳、腐蚀失效。此 外，也用于恒应力加速寿命试验后对样品失效时 间进行了统计分析。随机变量 t 的自然对数 ln t 服从均值为和标 准差多的正态分布，称为对数正态分布对数正态分布。这 里和不是随机变量 t 的均值和标差差，而是 ln t 的均值和标准差。331.失效概率密度函数( )f tf(t) 失效概率 密度函数 图形如图 1-22所示。(1-33)222)(ln21)(=t ettf342.累积失效概率函数( )F tF（t）的图形 如图1- 23所示。（1-34）222)(ln0 21)(=ttettF353.可靠度函数( )R tR（t）的图形 如图1- 24所示。（1-35）dtettR tt =2)(ln 2221)(36的图形 如图1- 25所示。( ) t4.失效率函( ) t（1-36）=2)(ln2)(ln222211)()()(tttdtetet tRtft
