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1、拓展应用题拓展应用题第一题第一题 一、问题背景：一、问题背景： 如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F 分别是 BC，CD 上的点且 EAF=60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DG=BE连结 AG，先证明ABEADG，再证明AEF AGF，可得出结论，他的结论应是 ；探索延伸：探索延伸：如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D=180E，F 分别是 BC，CD 上的点，且EAF= BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：实际应用： 如图 3，在某次军事
2、演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的 A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70的 B 处， 并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏 东 50的方向以 80 海里/小时的速度前进.1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间 的夹角为 70，试求此时两舰艇之间的距离第二题第二题 （1 1）问题）问题 如图 1，在四边形 ABCD 中，点为上一点， PAB90DPCAB 求证：ADBC=APBP （2 2）探究）探究 如图 2，在四边形 ABCD 中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立
3、？PABDPCAB 说明理由 （3 3）应用）应用 请利用（1） （2）获得的经验解决问题： 如图 3，在ABD中，AB=6，AD=BD=5， 点P以每秒 1 个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点 B运动，且满足CPD=A设点P的运动时间为t（秒） ，当以D为圆心， DC为半径的圆与AB相切时，求t的值图 1APBCD图 2PACBD图 3PDACB第三题第三题在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即.利用上述结论可以求解如下sinsinsinabc ABC题目.如： 在中，若，求.ABC45A o30Bo6a b解：在中，ABCsinsinab ABQ16sin6sin3023
4、 2sinsin452 2aBbA oo问题解决：问题解决： 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西30 21A方向的处，且乙船从处按北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙105o1B1B15o202A船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里.120o2B10 2（1） 判断的形状，并给出证明.122A A B（2） 乙船每小时航行多少海里？第四题第四题 【探究发现探究发现】如图，是等边三角形，EF 交等边三角ABC60AEF 形外角平分线 CF 所在的直线于点 F当点 E 是 BC 的中点时，有 AE=EF 成立； 【数学思考数学思考
5、】某数学兴趣小组在探究 AE、EF 的关系时，运用“从特殊到 一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点 E 是直线 BC 上（B,C 除外）任意一点时(其它条件不变)，结论 AE=EF 仍然成立 假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点 E 是线段 BC 上的任意一点” ；“点是线段 BC 延长 线上的任意一点” ；“ 点是线段 BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用 图 1 中画出图形，并进行证明C乙乙乙B2B1A2A115120105FCABE（题图 1）（备用图）CAB（备用图）CAB【拓展应用拓展应用】当点 E 在线段 BC 的延长线上时，若 CE = BC，
6、在备用图 2 中画出图形，并运用上述结论求出的值:ABCAEFSS第五题第五题【阅读】定义：以线段l的一个端点为旋转中心，将这条线段顺时针旋转（0360） ，再沿水平向右的方向平移m个单位后得到线段l（若m0，则表示沿水平向左的方向平移|m|个单位）,称线段l到线段l的变换为XP, m 图 1 中的变换XP30,3就表示线段AB绕点A顺时针旋转 30，再沿水平向右的方向平移 3 个单位后得到线段AB的过程303个 个 个ABBAAB【操作】图 2 是边长为 1 的正方形网格，线段AB的端点在格点上，以A为旋转中心，在图中画出线段AB经过变换XP90,-2后的对应线段AB【应用 1】若将与水平方
7、向垂直的线段AB经变换XP60, m后所得的图形是线段CD（如图 3） ，其中点A为旋转中心，AB =4，C=45，求m的值【应用 2】如图 4，在平面直角坐标系xOy中，其中x轴的正方向为水平向右若抛物线交x轴的正半2122yxx轴于A，以O为旋转中心，线段OA经过XP, m变换后对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，其中请直接写出所有符合题意的和m的值（图 1）（图 2）（图 3）CBDA几何图形变换综合题几何图形变换综合题第一题【问题提出】如图，已知ABC 是等腰三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC，将BCE 绕点 C顺时针旋转 60至ACF 连
8、接 EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图，如果点 E 在线段 AB 的延长线上，其他条件不变，线段 AB，DB，AF 之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点 E 在线段 BA 的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF 之间的数量关系，不必说明理由xyAO（图 4）第二题第二题猜想与证明：猜想与证明：如图 1 摆放矩形纸片 ABCD 与矩形纸片 ECGF，使 B、C、G 三点在一条直线上，CE 在边 CD 上，连接 AF，若 M 为 AF 的中点，连接 DM、ME，试猜想 DM 与 ME 的关系，并证明你的结论拓展与延伸：拓展与延伸：（
9、1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF，其他条件不变，则 DM 和 ME 的关系 为 （2）如图 2 摆放正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF，使点 F 在边 CD 上，点 M 仍为 AF 的中点，试证明（1）中 的结论仍然成立第三题第三题在正方形 ABCD 中，动点 E，F 分别从 D，C 两点同时出发，以相同的速度在直线 DC，CB 上移动 （1）如图，当点 E 自 D 向 C，点 F 自 C 向 B 移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，请你写出 AE 与 DF 的位置关系，并说明理由； （2）如图，当 E，F 分别移动到边 DC，CB
10、 的延长线上时，连接 AE 和 DF， （1）中的结论还成立吗？ （请你直接回答“是”或“否”，不需证明） （3）如图，当 E，F 分别在边 CD，BC 的延长线上移动时，连接 AE，DF， （1）中的结论还成立吗？ 请说明理由； （4）如图，当 E，F 分别在边 DC，CB 上移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，由于点 E，F 的移动， 使得点 P 也随之运动，请你画出点 P 运动路径的草图若 AD=2，试求出线段 CP 的最小值第四题第四题如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，连接 AE、BF，交点为 G(1)求证：AEBF；(2)将BCF沿BF对折，
11、得到BPF（如图2） ，延长FP交BA的延长线于点Q，求sinBQP的值；(3)将ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到AHM（如图3） ，若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积第五题第五题如图 1，在正方形 ABCD 的外侧，作两个等边三角形 ADE 和 DCF，连接 AF，BE.（1）请判断：AF 与 BE 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图 2，若将条件“两个等边三角形 ADE 和 DCF”变为“两个等腰三角形ADE 和 DCF，且EA=ED=FD=FC” ，第（1）问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明；（3）若三角形
12、 ADE 和 DCF 为一般三角形，且 AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断.第六题第六题【问题情境】如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是线段 BG 上的动点，EF 交正方形外角DCG 的平分线 CF 于点EFAE F.BAEFCD图 1备用图BACD图 2BAECDF【探究展示】 (1)如图 1，若点 E 是 BC 的中点，证明：.DCFEFCBAE (2)如图 2，若点 E 是 BC 的上的任意一点（B、C 除外） ，是否仍然成立？若成立，请予以DCFEFCBAE 证明；若不成立，请说明理由。 【拓展延伸】 （3）如图 3，若点 E 是 BC 延长线
13、（C 除外）上的任意一点，求证：AE=EF.第七题第七题如图 1，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，EAC=90，点 M 为射线 AE 上任意一点（不与 A 重合） ，连接 CM，将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90得到线段 CN，直线 NB 分别交直线 CM、射线 AE 于点 F、D （1）直接写出NDE 的度数； （2）如图 2、图 3，当EAC 为锐角或钝角时，其他条件不变， （1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一 种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图 4，若EAC=15，ACM=60，直线 CM 与 AB 交于 G，BD= ，其他条件不变，求线段 AM的长
