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1、专题六专题六 几何变换与应用几何变换与应用东北育才学校 彭玲一知识要点一知识要点1合同变换 保持两点距离不变的平面几何变换称为合同变换。 在合同变换下，共线点变为共线点，共点线变为共点线，射线变为射线，角变为相等 的角，三角形变为与其全等的三角形。即：合同变换下不改变图形的形状和大小，只改变 其位置。合同变换有：平移、反射和对称三种形式。 2平移变换把图形 G 中的每一点沿着同一方向移动相同的距离，得到图形，从图形 Gau r |au vG到图形的变换叫做平移变换。其中叫做平移向量。记作。Gau r Lau v性质 1 平移变换下的两组对应点构成一个平行四边形； 性质 2 平移变换把任意图形变
2、换成与它全等的图形。 3反射变换 给定平面上的一条直线 l，从这个平面上的点到关于对称轴 l 的对称点的变换叫做反射变换（或叫做对称变换） 。记作。lS性质 1 对称轴是任一对对应点的连线段的垂直平分线； 性质 2 反射变换把任意图形变换成与它全等的图形。 4旋转变换 将图形 G 中的每一点绕同一定点 O 按同一方向（逆时针或顺时针）旋转同一大小的角度后得到图形， 从图形 G 到图形的变换叫做旋转变换。其中 O 点叫做旋转中心，qGG叫做旋转角。这种变换简记为。q0( )Rq性质 1 旋转变换保持线段的长度和角度的大小均不变； 性质 2 旋转变换把任意图形变换成与它全等的图形。 5相似变换 一
3、个平面上的点到自身的变换，如果对于平面上任意两点 A、B，以及对应点 A、B，总有（k 为正实数） ，那么这个变换叫做相似变换。其中 k 叫做相似比，相似A BkAB= 比为 k 的相似变换记作 H（k） 。 性质 1 在相似变换下，共线点对应共线点，射线对应射线，角对应角；性质 2 相似变换保持三点的单比不变，即若，则( )H kABCABC ； ABA B BCB C=性质 3 相似变换保持两直线夹角的大小不变； 性质 4 相似变换把一个图形变为与它相似的图形。 6位似变换设 O 是平面上一定点，H 是平面上的变换。若对任一对对应点 P、P都有（k 为非零实数） ，则称 H 为位似变换。记
4、为 H（O，k） ，其中 O 叫做位似中OPkOP=uuu ruu u r心，K 叫做位似比。 （1）位似变换是相似变换的一种特殊形式。（2）定义中的条件“”等价于如下三个条件：OPkOP=uuu ruu u rO、P、P三点共线；|OPk OP=当时，P、P在点 O 的同侧，当时，P、P在点 O 的异侧。0k 0k 1Oe。用带撇的同一字母（连同原来的下标）表示各个点和各条直线在该变换下的像。1Oe设是与的（不同于 A）第二个交点。圆与关于直线对称。1B2Oe1Oe1Oe2Oe1AB在此对称之下，变为，变为，变为。从而，1T2T1l2l1M2M（k 不依赖于点和的位置） 。于是，不论点的位置
5、如何21AMAMkAM=1T2T12TT变化，所得到的都彼此为同位相似（因为分别位于直线上，它们12AM MD21MM12ll都经过点 A，且位于直线的不同侧，而比值为常数） 。由此即知，线段1AB21:AMAM的中点位于一条固定的经过点 A 的直线上。12M MO1O2ABT1T2M1M2O1T1M1l1l2B1图 2610图 269例 11. 圆内接四边形 ABCD 内有一点 P 满足APD = ABP + DCPP 在 AB, BC, CD上射影为 E、F、G证明EFGAPD证明： EFG = EFP + GFP = EBP + GCP = APD，故只需证 = AP PDEF FG又
6、= = ，故只需证 = EF FGPB sin BPC sin CPBAC PCBDAP PDPBAC PCBD= APPC ACBPPD BD APD = ABP + DCP， ABP 的外接圆与DCP 外接圆外切于点 P作以 P 为反演中心，P 对 ABCD 外接圆的幂为反演幂作反演变换则 A, B, C, D 分别变为 A, B, C, D，且 A是 AP 与 ABCD 外接圆的交点，B、C、D类似因为ABP、CDP 外接圆外切于 P故用反演性质知 ABCD ABCD为等腰梯形 AC = BD由反演变换距离公式知AC = AC, BD = BDd 为反演幂|d| PAPC|d| PBPD
7、 AC = BD，此式已证明成立，故原题得证例 12.双心四边形 ABCD，ACBD = E，内、外心为 I、O求证 I、O、E 三点共线证明：引理：圆外切四边形 ABCD，切点为M、N、K、L，则 AC、BD、MK、NL 四线共点引理的证明：设 ACKM = G，LNKM = G，由正弦定理得= = = GC AGCM AKsin GMCsin AKGsin AGKsin CGMCM AK同理 = = = = 即 G = GGCAGCL ANGCAGCL ANCM AKCG AGEFDPCABGDGCMNA BLKG( )故 AC、NL、KM 三线共点同理 BD、KM、LN 三线共点，引理得
8、证回到原题：切点仍记为 K、L、M、N，由引理 KMLN = E以 I 为中心，KNM为反演圆作反演，A、B、C、D分别为 KLMN 四边中点由 BCKMAD, ABNLDC知 ABCD为平行四边形而 A、B、C、D 共圆知 A、B、C、D共圆，ABCD必为矩形，其中心设为 Q，且有 KMLN由反演性质知 Q、I、O 三点共线设 LN、KM 中点为P、R，则 IQ = 1 4 IA + IB + IC + ID = 1 4 IK + IL + IM + IN = 1 2 IR + IP 由垂径定理知 PIRE 为矩形从 而 IR + IP = IE IQ = 1 2 IE ，即 I、Q、E 三
9、点共线，从而 O、I、E 三点共线 三强化训练三强化训练1已知：点 O 是内的一个点，使得。ABCDY0180AOBCOD+ =求证：。OBCODC= 2已知三个相等的圆有一个公共点 K，并且都在一个已知的三角形内，每一个圆与三 角形的两条边相切。求证：三角形的内心 I、外心 O 和已知点 K 在一条直线上。3已知：O、I 分别是的外心和内心，已知。求证：ABCD030OIB=。060BAC=4 （第 42 届 IMO 预选题）设是锐角三角形，在的外侧作等腰ABCDABCD 、，且，DACDEABDFBCDDADCEAEBFBFC=、。设 D是直线 DB 与 EF 的交2ADCBAC=2BEA
10、ABC=2CFBACB=点，E是直线 EC 与 DF 的交点，F是直线 FA 与 DE 的交点。求的值。DBECFA DDEEFF+5在中，。求证：。ABCD020A =ABACa=BCb=3323aba b+=DPRIECABCMNA BLKD6设以 a 为边长的等边三角形 ABC 内一点 P 到各顶点的距离满足，若。求证：。,PAu PBv PCw=222uvw+=223wuva+=7锐角ABC 中，N 为ABC 的九点圆圆心，N为 N 的等角共轭点，O 为ABC 外心OA 中垂线交 BC 于 A，类似定义 B、C证明 A、B、C共线于 l 且 lON四强化训练参考答案四强化训练参考答案1
11、作 OPAD，且，则OPAD= OPBC，且OPBC= 四边形 APOD 与四边形 BCOP 均是平 行四边形，APDO=BPCO= 又ABCD= ABPDCODD ，APBDOC= ODCPAB= 又0180AOBCOD+ =0180AOBAPB+ =A、P、B、O 四点共圆PABPOBOBC= = OBCODC= 2由条件可知 123OO OABCDD:又分别为的平123AOBOCOABC分线，应交于一点，即的内心 IABCD和关于 I 位似ABCD123K K KD又 123KOKOKO=K 是的外心123OO OD又 O 是的外心ABCD点 O 与 K 是将变到的位似ABCD123OO
12、 OD变换下的一对对应点 由位似变换的性质知 O、K 的连线必过位似中心 I I、K、O 三点共线O1O3KO2ABCIOBCDAOP第 2 题图第 1 题图即 的内心、外心和 K 在一条直线ABCD 上3连结 AI 交于 D，连 BD，则OeD 为的中点BCIBDIBCCBD= + 1 2BCAD= + 11 22BA= +BIDIBAIAB= + 11 22BA= +IBDBID= IDBD=作点 B 关于直线 OI 的对称点 E，则 E 在上Oe，IEIB=030OIEOIB= =000303060BIEOIBOIE= + =+=为等边三角形BIED EBEI= 又IDBD= 直线 DE
13、 是 BI 的垂直平分线030BEDDEI= =02260BACBADBED=4是锐角三角形ABCDADCBEACFBpEMIE=)(2 cbabcab =IMIE=abacbcab 222=acabaab 22=cbab 2=cbab bcba IMIE EBNB IMIE IECN IMCN 222=2故所求值为 2.2、 设AQR 与BRP 的外接圆交于点 M，作 MP1BC,MQ1AC,MR1AB. 由 A、R、M、Q 和 B、R、M、P 分别四点共圆得ARM=MPB=MQC. 因此，C、Q、M、P 四点共圆。1Q1P1RMFEDCBAPQR记R1MR=。则P1MP=2MPP1=2MR
14、R1=R1MR。同理 Q1MQ=。则 RtMRR1 RtMPP1 RtMQQ1。故1MRMR=1MPMP=1MQMQ=COS1。由1MRMR=1MPMP及R1MP1=RMP,知R1MP1 RMP。可得PRRP11=MRMR1=cos。同理PQQP11= cos, QRRQ11= cos。于是PRRP11=PQQP11=QRRQ11= cos。故PQR P1Q1R1，其相似比为 cos。若0，则P1Q1R1是PQR 比还小的正三角形。因此 =0。故 MPAB,MQBC,MRCA。设过点 A、B、C 所作的垂线分别为 AD、BE、CF，点D、E、F 分别在 RQ、RP、PQ 上，则RADQAD sinsin=MRQMQR sinsin=MQMR。同理PBERBE sinsin=MRMP，QCFPCF sinsin=MPMQ.三式相乘得RADQAD sinsin PBERBE sinsinQCFPCF sinsin=1。由角元塞瓦定理的逆定理知 AD、BE、CF 三线共点。3、设 PQ=QR=RP=x，BE=CF=AD=y,AR=u,BP=v,CQ=w.将 AFB 看作PQR 的梅涅劳斯线得FRQF BQPB APRA=1，即)(xwywy xvv xuu =1。故 u+v=xyuvwxwxvxu
