《2013年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20132013 年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二1. (12 分)已知常数 a 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x 0 )是关于x 的函数.(1) 判定函数 f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意 n a , 证明 f n + 1 ( n + 1 ) 0 , x 0, fn ( x ) a0 时, fn ( x ) = xn ( x + a)n是关于 x 的减函数, 当 n a 时, 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n n n ( n + a)n. 2 分又 f
2、 n + 1 (x ) = ( n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n n ,f n + 1 ( n + 1 ) | u v |，所以 p( x)不满足题设条件.（2）分三种情况讨论：10. 若 u ,v 1，0，则|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，满足题设条件；20. 若 u ,v 0，1， 则|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|= |v u|，满足题设条件；30. 若 u1，0，v0，1，则：|g (u) g(v)|=
3、|(1 u) (1 + v)| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|，满足题设条件;40 若 u0，1，v1，0, 同理可证满足题设条件.综合上述得 g(x)满足条件.3. (14 分)已知点 P ( t , y )在函数 f ( x ) = 1xx (x 1)的图象上，且有 t2 c2at + 4c2 = 0 ( c 0 ).(1) 求证：| ac | 4;(2) 求证：在(1，+）上 f ( x )单调递增.(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.证：(1) tR, t 1, = (c2a)2 16c2 = c4a
4、2 16c2 0 ， c 0, c2a2 16 , | ac | 4.(2) 由 f ( x ) = 1 1x1 ,法 1. 设1 0, x2 + 1 0 ,f (x2) f ( x1) 0 得 x 1, x 1 时，f ( x )单调递增.（3） （仅理科做）f ( x )在 x 1 时单调递增，| c | |a|4 0 , f (| c | ) f (|a|4) = 1|a|4|a|4= 4|a|4 f ( | a | ) + f ( | c | ) = 1|a|a| + 4|a|4 4|a|a| +4|a|4 =1.即 f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.4 （15
5、分）设定义在 R 上的函数432 01234( )f xa xa xa xa xa（其中iaR，i=0,1,2,3,4） ，当x= 1 时，f (x)取得极大值2 3，并且函数 y=f (x+1)的图象关于点（1，0）对称（1）求 f (x)的表达式；（2）试在函数 f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间2,2上；（3）若+212(1 3 ),(N )23nnnnnnxyn，求证：4()().3nnf xf y解：（1）31( ).3f xxx5 分（2）20,0 ,2,3或20,0 ,2,.310 分（3）用导数求最值，可证得4()()( 1)(1).
6、3nnf xf yff15 分5 （13 分）设 M 是椭圆22 :1124xyC上的一点，P、Q、T 分别为 M 关于 y 轴、原点、x轴的对称点，N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点，且 MNMQ，QN 与 PT 的交点为 E，当 M 沿椭圆C 运动时，求动点 E 的轨迹方程解：设点的坐标112211( ,),(,)(0),( , ),M x yN xyx yE x y则111111(,),(,), ( ,),Px yQxyT xy1 分22 1122 221,(1)1241.(2)124xyxy L L L LL L L L3 分由（1）（2）可得1.3MNQNkk 6 分又 MNMQ，
7、111,MNMQMNxkkky 所以11.3QNykx直线 QN 的方程为1 11 1()3yyxxyx，又直线 PT 的方程为11.xyxy 10分从而得1111,.22xx yy 所以112 ,2 .xx yy 代入（1）可得2 21(0),3xyxy此即为所求的轨迹方程.13 分6 （12 分）过抛物线yx42上不同两点 A、B 分别作抛物线的切线相交于 P 点，. 0PBPA（1）求点 P 的轨迹方程；（2）已知点 F（0，1） ，是否存在实数使得0)(2FPFBFA？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(212 2 22 1 1xxxxB
8、xxA由,42yx 得：2xy 2,221xkxkPBPA4, 021xxPBPAPBPAQ3 分直线 PA 的方程是：)(24112 1xxxxy即422 11xxxy 同理，直线 PB 的方程是：422 22xxxy 由得： ),( , 142 21 2121 Rxxxxyxxx点 P 的轨迹方程是).( 1Rxy6 分（2）由（1）得：),14,(2 1 1xxFA),14,(2 2 2xxFB) 1,2(21 xxP4),2,2(2121xxxxFP42) 14)(14(2 22 12 22 1 21xxxxxxFBFA 10 分2444)()(2 22 12 212xxxxFP 所以
9、0)(2FPFBFA故存在=1 使得0)(2FPFBFA12 分解法（二）：（1）直线 PA、PB 与抛物线相切，且, 0PBPA直线 PA、PB 的斜率均存在且不为 0，且,PBPA 设 PA 的直线方程是)0,(kRmkmkxy由 yxmkxy 42得：0442mkxx016162mk即2km3 分即直线 PA 的方程是：2kkxy同理可得直线 PB 的方程是：211 kxky由 2211 kxkykkxy 得： 11yRkkx故点 P 的轨迹方程是).( 1Rxy6 分（2）由（1）得：) 1,1(),1,2(),2(22kkPkkBkkA) 11,2(),1,2(22kkFBkkFA)
10、2,1(kkFP)1(2) 11)(1(422 22 kkkkFBFA10 分)1(24)1()(2222 kkkkFP故存在=1 使得0)(2FPFBFA12 分7 （14 分）设函数xaxxxfln1)(在), 1 上是增函数.（1）求正实数a的取值范围；（2）设1, 0ab，求证：.ln1 bba bba ba解：（1）01)(2axaxxf对), 1 x恒成立，xa1对), 1 x恒成立又11x1a为所求.4 分（2）取bbax，1, 0, 1bbabaQ，一方面，由（1）知xaxxxfln1)(在), 1 上是增函数，0) 1 ()(fbbaf0ln1 bbabbaabba即babb
11、a 1ln8 分另一方面，设函数) 1(ln)(xxxxG) 1(0111)(xxx xxGQ)(xG在), 1 ( 上是增函数且在0xx 处连续，又01) 1 (G当1x时，0) 1 ()( GxGxxln 即bba bbaln综上所述，.ln1 bba bba ba14 分8(12 分)如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，90Co，B、C在x轴上且关于原点O对称， D 在边BC上，3BDDC，ABC!的周长为 12若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、 D 两点 xyDOCAB(1) 求双曲线E的方程；(2) 若一过点( ,0)P m（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于
12、双曲线顶点的两点M、N，且MPPNu u u ru u u r，问在x轴上是否存在定点G，使()BCGMGNuuu ruuuu ruuu r？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由解：(1) 设双曲线E的方程为22221 (0,0)xyabab，则(,0),( ,0),( ,0)BcD aC c由3BDDC，得3()caca，即2ca222|16, | 124 , | 2 .ABACa ABACa ABACa （3 分）解之得1a ，2,3cb双曲线E的方程为2 213yx （5 分）(2) 设在x轴上存在定点( ,0)G t，使()BCGMGNuuu ruuuu ruuu r
13、设直线l的方程为xmky，1122( ,),(,)M x yN xy由MPPNu u u ru u u r，得120yy即12y y （6 分）(4,0)BC uuu r，1212(,)GMGNxtxt yy uuuu ruuu r，()BCGMGNuuu ruuuu ruuu r12()xtxt 即12()kymtkymt （8 分）把代入，得xyDOCABNBC OyxGMP12122()()0ky ymtyy（9 分）把xmky代入2 213yx 并整理得222(31)63(1)0kykmym其中2310k 且0 ，即21 3k 且2231km212122263(1),3131kmmyyy ykk（10 分）代入，得2226 (1)6()03131k mkm mt kk，化简得 kmtk当1tm时，上式恒成立因此，在x轴上存在定点1(,0)Gm，使()BCGMGNuuu ruuuu ruuu r（12 分）9(14 分)已知数列 na各项均不为 0，其前n项和为nS，且对任意*n
