《“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报数学周报杯杯”2011”2011 年年全国初中数学竞赛试题及参考答案全国初中数学竞赛试题及参考答案一一二二三三题题 号号1 15 56 6101011111212 13131414总总 分分得得 分分评卷人评卷人复查人复查人答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答.2解答书写时不要超过装订线.3草稿纸不上交.一、选择题（共一、选择题（共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 30 分分. 以下每道小题均给出了代号为以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的的四个选项，其中
2、有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后请将正确选项的代号填入题后的括号里的括号里. 不填、多填或错填都得不填、多填或错填都得 0 分）分）一、选择题选择题（每小题 7 分，共 35 分，每小题只有一个正确选项）1、设，则代数式的值为（ ）17 a12612323aaa（A）24 （B）25 （C） （D）107412742、对于任意实数 a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“”为： （a，b）（c，d）=（ac+bd，ad+bc） 。如果对于任意实数 u，v，都有（u，v） （x，y）=（u，v） ，那么（x，y）为（ ） （A） （0，1） （B）
3、（1，0） （C） （-1，0） （D） （0，-1）3、若 x1，y0，且满足 xy=xy，则 x+y 的值为（ ）yxyx3（A）1 （B）2 （C） （D）29 2114、点 D，E 分别在ABC 的边 AB，AC 上，BE，CD 相交于点 F，设 S四边形 EADF=S1，SBDF=S2， SBCF=S3，SCEF=S4，则 S1S3与 S2S4的大小关系为（ ） （A）S1S3S2S4 （D）不能确定5、设，则 4S 的整数部分等于（ ）3333991 31 21 11 S（A）4 （B）5 （C）6 （D）7二、填空题（每小题二、填空题（每小题 7 7 分，共分，共 3535 分）
4、分） 6、若关于 x 的方程（x-2） （x2-4x+m）=0 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的 三条边的长，则 m 的取值范围是_。 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，2，2，3，3，4；另一枚质地均 匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝 上的面两数字之和为奇数 5 的概率是_。 8、如图，点 A，B 为直线 y=x 上的两点，过 A，B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线（x0）于 C，D 两点。若 BD=2AC，xy1则的值为_。224ODOC 9、若的最大值为 a，最小值为 b，则 a2+b2的值为_。
5、211xxy10、如图，在 RtABC 中，斜边 AB 的长为 35，正方形 CDEF 内接 于ABC，且其边长为 12，则ABC 的周长为_。三、解答题（每题三、解答题（每题 2020 分，共分，共 8080 分）分） 11、已知关于 x 的一元二次方程 x2+cx+a=0 的两个整数根恰好比方程 x2+ax+b=0 的两个根都 大 1，求 a+b+c 的值。12、如图，点 H 为ABC 的垂心，以 AB 为直径的O1和BCH 的外接圆O2相交于点 D，延 长 AD 交 CH 于点 P，求证：点 P 为 CH 的中点。13、如图，点 A 为 y 轴正半轴上一点，A，B 两点关于 x 轴对称，
6、过点 A 任作直线交抛物线于 P，Q 两点。2 32xy （1）求证：ABP=ABQ （2）若点 A 的坐标为（0，1） ，且PBQ=60o，试求所有满足条件的直线 PQ 的函数解析式。14、如图，ABC 中，BAC=60o，AB=2AC，点 P 在ABC 内，且 PA=，PB=5，PC=2，求3ABC 的面积。中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报数学周报杯杯”2011 年全国初中数学竞赛试题参考答案年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题一、选择题1A解：解：因为， ， ， 所以71a 17a 262aa32231261236212 62612612
7、606 62126024.aaaaaaaaaaa （）（）（）2B解：解：依定义的运算法则，有即对任何实数都成立. uxvyuvxuyv ，(1)0(1)0u xvyv xuy ， uv，由于实数的任意性，得uv，（）=（1，0） xy，3C解：解：由题设可知，于是1yyx，341yyxyxx所以 ，411y 故，从而于是1 2y 4x 9 2xy4C解：解：如图，连接，设，则DE1DEFSS1423SSEF SBFS，从而有因为，所以1324S SS S11SS1324S SS S5A解：解：当时，因为2 3 99k L，3211111 2111kkkk kk k所以 .3331111 11
8、511123992 299 1004S L（第 4 题）于是有，故的整数部分等于 4445S4S二、填空题二、填空题63m4解：解：易知是方程的一个根，设方程的另外两个根为，则，2x 12xx，124xx显然，所以12x xm1242xx0，122xx ，164m 即 ，0，所以2 121242xxx x164m ， 0，1642m164m 解之得 3m4.71 9解：解： 在 36 对可能出现的结果中，有 4 对：（1，4） ， （2，3） ， （2，3） ， （4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为 5 的概率是.41 36986解：解：如图，设点的坐标为，点的坐标为,则点的坐标为，点
9、Cab（，）Dcd（，）Aaa（，）的坐标为 因为点在双曲线上，所以B.cc（，）CD，1yx11abcd，由于， 又因为，于是ACabBDcd，2BDAC22222242cdabccddaabb，（），所以 22224826abcdabcd（）（），即 224OCOD6.93 2解：解：由0，且0，得 1x1 2x1 2x122213113122()2222416yxxx（第 8 题）由于，所以当时，取到最大值 1，故131240，由（1）可知PCaDQbab=，=，=， ABP30ABQ BC3aBD3b所以 =，=.AC32a AD23b因为，所以.PCDQACPADQ（第 12 题）（
10、第 13 题）于是，即，PCAC DQAD32 23aa bb所以3abab由（1）中，即，所以3 2PQx xt 3 2ab 33 3 22abab，于是可求得 23.ab将代入，得到点的坐标（，）. 3 2b 22 3yxQ3 21 2再将点的坐标代入，求得 Q1ykx3.3k 所以直线的函数解析式为.PQ313yx 根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或.PQ313yx 313yx解法二 设直线的函数解析式为,其中.PQykxt1t 由（1）可知，=，所以.ABP30ABQ 2BQDQ故 .222(1)QQQxxy将代入上式，平方并整理得22 3QQyx，即.4241590QQxx22
11、(43)(3)0QQxx所以 或 3 2Qx 3.又由 (1)得，.33 22PQx xt 3 2PQxxk若代入上式得 从而 .3 2Qx ，3Px ，23()33PQkxx 同理，若 可得 从而 .3Qx ，3 2Px ，23()33PQkxx所以，直线的函数解析式为，或.PQ313yx 313yx14解：解：如图，作ABQ，使得则ABQACP . QABPACABQACP ，由于，所以相似比为 2.2ABAC于是22 324AQAPBQCP，.60QAPQABBAPPACBAPBAC 由知，于是:2:1AQ AP 90APQ33PQAP所以 ，从而22225BPBQPQ90BQP于是. 222()288 3ABPQAPBQ故 21367 3sin60282ABCSAB ACAB （第 14 题）
