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1、数学分析试卷第页共页数学分析数学分析期末考试试卷期末考试试卷一、一、选择题选择题（每小（每小题题 分，分，共共分分。只有一个答案正确）只有一个答案正确） 设在（）上连续，且为非零偶函数，则)(xf ,aa0axdttfx 0)()(（）)(x（A）是偶函数； （B）是奇函数； （C）是非奇非偶函数； （D）可能是奇函数，也可能是偶函数设在上连续，且，则（）)(xf ,ba0)(badxxf（A）在内不一定有使；（）对于上的一切都有；) ,(bax0)(xf ,bax0)(xf（C）在的某个小区间上有； （D）在内至少有一点使 ,ba0)(xf) ,(ba0)(xf已知当时，的导数与为等价无穷小
2、，0x xdttftxxF 022)()()()(xF2x则（）)0(f （A）等于；（）等于；（C）等于 1；（D）不存在21设是微分方程的满足，的解，)(xyxeyxyxy 2) 1(0)0(y1)0( y则（）20)(limxxxyx（A）等于；（）等于；（）等于；（）不存在.5设直线L：，平面：，则它们的位置关系是 （ 3102123 zyxzyx224zyx） （A）； （B）L在上；（C）；（D）L与斜交./LL6设在全平面上有，则保证不等式 成立的条件是（ ）0),( xyxf0),( yyxf),(),(2221yxfyxf（A），；（B），；21xx 21yy 21xx 21
3、yy （C），；（D），.21xx 21yy 21xx 21yy 7设 S 为八面体全表面上半部分的上侧，则不正确的是（ ） 1|zyx（A）；（B）；（C）；（D）.02 Sdydzy0 Sdydzy02 Sdydzx0 Sdydzx8设常数，则级数是（ ）012tan) 1(nnn（A）条件收敛；（B）绝对收敛； （C）发散； （D）敛散性与有关 9设A、B都是阶非零矩阵，且，则A和B的秩（ ）nOAB （A）必有一个等于零；（B）都等于；（C）一个小于，一个等于；（D）都小于.nnnn10设A是 3 阶可逆矩阵，且满足，（为A的伴随矩阵是） ，则062EAA144|*A*AA 的三个特征
4、值是（ ） （A）3，3，；（B），2；（C）3，；（D），2，2.233223二、二、 （8 8 分）分）设设在在的邻域具有二阶导数，且的邻域具有二阶导数，且，试求，试求，)(xf0x310)(1 limexxfxxx )0(f及及. .)0(f )0(f 三、三、 （8 8 分）分）设及，求.2) 1arcsin()(xxf0)0(f10)(dxxf四、四、 （ 分）分）设函数满足与，求),(yxu0yyxxuuxxxu)2 ,(2)2 ,(xxxux，（表示对的一阶偏导数，其他类推）)2 ,(xxuxx)2 ,(xxuxy)2 ,(xxuyyxuux题号一二三四五六七八九十总分得分密线封
5、层次报读学校专业姓名316数学分析试卷第页共页五、五、 （8 8 分）分）设向量组，是齐次线性方程组的一个基础解系，向量12s0AX不是方程组的解，即，试证明：向量组，0AX0A12线性无关s六、六、 （1010 分）分）已知三元二次型经正交变换化为，又知，其AXXT2 32 22 12yyy*A中，为A的伴随矩阵，求此二次型的表达式T) 1 , 1 , 1 (*A七、七、 （8 8 分）分）设是以为边界的光滑曲面，试求可微函数使曲面积分)(x与曲面的形状无关Sdxdyxzdzdxxxydydzxx 4 )( 4 )( )1 (2八、八、 （1010 分）分）设一球面的方程为，从原点向球面上任
6、一点处的切平面4) 1(222zyx作垂线，垂足为点，当点在球面上变动时，点的轨迹形成一封闭曲面，求此封闭曲面 所围成的立体的体积九、九、 （1010 分）分）设函数在（）上连续，在可导，且)(xf ,aa0a0x0)0( f（）求证：，等式成立) , 0(ax) 1 , 0() () ( )( )( 00xfxfxdttfdttfxx（）求极限 0lim x十、十、 （1010 分）分）设函数在，连续，周期为，且，函数在，)(x0 )(10dxx)(xf上有连续导数，设，求证：级数收敛dxnxxfan )( )(1012nna数学分析试卷第页共页数学分析数学分析参考答案参考答案一、选择题：一
7、、选择题：1 15 5、 B B D D B B B B C C 6 61010、 A A D D A A D D C.C.二、解0)(1lnlim3)(1ln lim)(1 lim 00310 xxfxxxxfx exxfx xxx x00)0()(lim)0( )0(0)(lim0)(lim 000 xfxfffxfxxfxxx由等价无穷小得40)0( )( lim)0(“22)( lim2)(lim3)(lim 00200xfxffxxfxxf xxxfxxxxx三、解1 0 1 0 1 0 1 0 21 0) 1arcsin() 1()( ) 1()() 1() 1()()(dxxxd
8、xxfxxfxxdxfdxxfux1令0 1 0 1 430 122220 1 2 12arcsin21arcsin21arcsindu uuuuduuduuu12210 1 4 t 21 4四、解等式两端对求导得xxxu)2 ,(1)2 ,(2)2 ,(xxuxxuyx这两个等式对求导得2)2 ,(xxxuxQ)1 (21)2 ,(2xxxuyxxxuxxuxyxx2)2 ,(2)2 ,(.)2 ,(2)2 ,(xxxuxxuyyyx由已知条件得故解得，yxxyyyxxuuuu,xuuyyxx34xuxy35五、证设有一组数使得即skkkk,21L siik10)( siiisiikkk11
9、)()(两边左乘A得 siiisiiAkAkk110)()(0AQ siikk10即为的基础解系 sisiiiikkk110)()( siiik10s,21LQ0AX。故线性无关。0021kkkksLs,1L六、解由条件知A的特征值为，则，的特征值为，A的特征值为1, 1, 22|A*AQ| A，由已知是A关于的特征向量，也就是是A关于的特征向量，设A2, 2, 112关于的特征向量为是实对称阵，与要正交，解1Txxx),(311AQ0321xxx出令，则，TT) 1 , 0 , 1 (,)0 , 1, 1 (21 1 0 10 1 1 1 1 1 ),(21P 1 1 2 1APP数学分析试
10、卷第页共页故 1 0 10 1 1 1 1 1 1PPA 0 1 11 0 1 1 1 0 2 1 11 2 11 1 1311 1 2323121222xxxxxxAXXT七、解以为边界任作两个光滑曲面，它们的法向量指向同一例，记为21,SS21SS*S与所围成的闭曲面，取外侧，所围立体为，则，由高斯公式得1S2S021* SSS，由的任意性得0)( dVzR yQ xP)( )1 ()(202xxxxzR yQ xP即解线性非齐次方程得04)(4xxx04)(2)( )1 (2xxxxx2)(2ccxx八、解设点为，则球面的切平面方程为),(000zyx0)(1()()(000000zzz
11、yyyxxx垂线方程为代入及切平面方程得tzztyytxxzz yy xx1,1000 0004) 1(2 02 02 0zyx，即（点轨迹）22224tzyx)(222222zyxtzzyx)(4)(2222222zyxzzyx化为球坐标方程得cos2 0 3cos2 0 20 2 0 )cos2()cos2(32sinddddV340九、证（）令由中值定理得 xx dttfdttfxF0 0 )()()(), 0(ax，) 1 , 0(),0)( )0()(xxFFxF0)0(FQxxxfxfxdttfdttf0 0 )()()()(（）由上式变形得，两边取极限，20 0 2)()(xdt
12、tfdttfxx xxfxf 2)()( 0x，)0( 21 4)()(lim 0fxxfxfx左 0lim)0( xf右0)0( fQ21lim 0 x十、证由已知条件，令1 0 2 1 1 0)()()(nnduuduuduuLx dttxF0 )()(则为周期为的函数，且，)(xF0)()0(),()( nFFnxnxF因此1 0 101 0 1 0 )()( 1)()(1)()(1)( )(dxnxFxfnxFxfnnxdFxfndxnxFxfan，连续、周期，1 0 )( 1)0(0(1) 1 () 1 (1xfnFfnFfndxnxF)(dxnxFxfn)()( 1)(xFQ有界，使，有，即，)(xF01 M),(xMxF | )(|MnxF | )(|又在连续，使，有，)( xfQ 1 , 002 M) 1 , 0(x2| )( |Mxf故，由正项级数比较法知收敛,1| )()( |
