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1、第八章 多元函数微积分 - 193 - 第 八章 多 元函 数 微积 分 本 章主 要 知识 点 本 章主 要 知识 点 本 章主 要 知识 点 本 章主 要 知识 点 一 阶偏 导数 计 算 可 微与 全微 分 二 阶偏 导数 二 重积 分 直 角坐 标系 二 重积 分 极 坐标 系 一 、一 阶 偏导 数 计算 一 、一 阶 偏导 数 计算 一 、一 阶 偏导 数 计算 一 、一 阶 偏导 数 计算 多 元函 数一 阶 偏导 数计 算 主要 有下 面 问题 ： （ 1） 显 式函 数一 阶 偏导 。 （2） 复 合函 数一 阶 偏导 。 （3） 隐函 数一 阶 偏导 数。 1 1 1 1
2、显函 数的 一 阶偏 导数 例 8. 1 2 s i n ( ) x y u x e = ， 求 , u u x y 。 解 ： ( ) 2 2 s i n 2 s i n 2 c os ( ) 1 c os x y x y x y u e x y x y e x y x y e x = + = + 2 3 s i n 2 c os x y u x e x y y = 例 8. 2 ( ) y y z u x y z x = + + ， 求 , , u u u x y z 。 解 ： ( ) 1 1 1 1 0 y y y y y u y x y z x z y x y z x x = + +
3、 = + ， ( ) ( ) z x z y z y x x y u y z y l n l n 1 + + = ， 1 1 l n l n 0 + = + + = y y z y y z z y x y y z y x y y z u ， 例 8. 3 ( ) 2 2 l n z x x y = + + y x ， 求 , u u x y 。同方专转本高等数学核心教程 - 194 - 解 ： 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 y y u x y x y x x x x y x y x y = + + = + + + + + ， ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 l n l
4、 n y y z y y x x x x y x x y x y x y x x y = + = + + + + + + + 。 2 2 2 2 复合 函数 的 求偏 导 我 们用 具体 的 例子 来说 明 复合 函数 的 求偏 导的 解 题步 骤 。例 如 ( ) x x y y x f u s i n , , + = ， 其 中 f 为 已知 可微 三 元函 数， 求 z u y u x u , , 。 第 一步 ：变 量 z y x , , 的 关系 网络 图 1 2 3 x y x u y x 其 中 1， 2， 3 分 别表 示 x x y y x s i n , , + 第 二步
5、： 寻 找与 x 对 应的 路径 ( ) ，计 算的 过程 可 以总 结为 “ 路 中用 乘 ，路 间用 加 ” 1 2 3 1 2 3 1 c os c os u f f y f x f f y f x x = + + = + + 同 理， 寻找 与 y 对 应的 路径 ( ) ， 1 2 1 2 1 u f f x f f x y = + = + 。 例 8. 4 ( ) 2 2 s i n( ) , x y u f x y e + = ， 求 , u u x y 。 解 ： 2 2 2 1 2 c os ( ) x y u f x y y f e x + = + 2 2 1 2 2 c
6、os ( ) 2 x y u f x y x y f e y + = + 例 8. 5 2 ( , s i n( 2 3 ) , ) x y z u f x z z y z e = + 求 z u y u x u , , 。第八章 多元函数微积分 - 195 - 解 ： 1 2 3 x z y u f z x y z = 2 2 1 3 x y z u f z f z y e x = + 2 2 3 3 c os ( 2 3 ) x y z u f z y f x z e y = + + 1 2 3 2 2 c os ( 2 3 ) ( 1 ) x y z u f x z f z y f e
7、x y z z = + + + + 。 3 3 3 3 隐函 数一 阶 偏导 由 方程 0 ) , , ( = z y x F 决 定隐 函数 ) , ( y x z z = 。 求偏 导公 式 为： x z F z x F = ， y z F z y F = 例 8. 6 ) , ( y x z z = 由 方程 1 3 2 2 2 2 + = + + + + z y x e z y x 决 定， 求 y z x z , 。 解 ： 2 2 2 2 3 1 x y z F x y z e + + = + + 2 3 2 3 2 3 2 x y z x x y z z F z x e x F
8、e z + + + + = = 2 3 2 3 2 2 3 2 x y z y x y z z F z y e y F e z + + + + = = . 例 8. 7 1 ) 2 s i n( 2 2 + = + + z y z y x x ， 求 y z x z , 。 解 ： 2 2 s i n( 2 ) 1 F x x y y z z = + + 同方专转本高等数学核心教程 - 196 - 2 2 2 s i n( 2 ) 2 c os ( 2 ) c os ( 2 ) 2 x z F z x y y z x x y y z x F x y x y y z z + + + + = =
9、+ + 2 2 ( 2 ) c os ( 2 ) c os ( 2 ) 2 y z F z x y z x y y z y F x y x y y z z + + + = = + + 。 二 、全 微 分 二 、全 微 分 二 、全 微 分 二 、全 微 分 ) , ( y x f u = ， 全微 分 dy y f dx x f du + = ) , , ( z y x f u = ， 全微 分 dz z f dy y f dx x f du + + = 例 8. 8 t a n x u x y y = ， 求 du 。 解 ： 2 2 1 t a n s e c t a n s e c u
10、 x x x x y y x y x x y y y y y = + = + 2 2 2 2 2 2 t a n s e c t a n s e c t a n s e c u x x x x x x x x x x x y x x y x y y y y y y y y y y = + = + = + 2 ( t a n s e c ) u u x x du dx dy y x dx x y y y = + = + + 2 2 ( t a n s e c ) x x x x dy y y y + 例 8. 9 y x x y u x y x y = + + + ， 求 du 。 解: 1 l
11、 n ( 1 l n ) y x x u y x y y x x x = + + + 1 l n ( 1 l n ) y x y u x x x y y y y = + + + 1 1 ( l n ( 1 l n ) ) ( l n ( 1 l n ) ) y x x y x y du y x y y x x dx x x x y y y dy = + + + + + + + 例 8. 10 y x y x u 2 s i n 2 2 + + = ， 求 ) 2 , 1 ( = = y x du 。 解 ： y x x u 2 s i n 2 + = y x y x u 2 c os 2 2
12、+ = 第八章 多元函数微积分 - 197 - 2 c os 2 , 2 2 , 1 2 , 1 = + = = = = = = y x y x y u x u 2 ( 2 ) d u d x d y = + 三 、二 阶 偏导 数 三 、二 阶 偏导 数 三 、二 阶 偏导 数 三 、二 阶 偏导 数 例 如 ) , ( y x f u = ， 有四 个偏 导 数 2 2 2 2 2 2 , , , u u u u x x y y x y 。 分别 定义 为 ) ( 2 2 x u x x u = ， ) ( 2 y u x y x u = ， ) ( 2 x u y x y u = ， )
13、 ( 2 2 y u y y u = 在 连续 条件 下 x y u y x u = 2 2 。 例 8. 11 已知 2 3 x y u x y y x = + + 求 u 的 所有 二阶 偏 导数 解 ： 2 2 1 3 2 x x y u x y y x x = + 2 3 2 1 y x u x y x = + 5 2 2 3 6 4 x x y u x y y x = + + 2 3 2 2 2 1 1 3 2 x y y x x u u x y x = = 2 3 2 y y x u y =同方专转本高等数学核心教程 - 198 - 例 8. 12 ) l n( 2 2 y x x
14、 u + + = 求 y x u 2 。 解 ： 2 2 2 2 2 2 1 ) 1 ( 1 y x y x x y x x x u + = + + + + = 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ) ( ) u y y x y x y x y = = + + 例 8. 13 已知 ) , ( y x z z = 由 方程 2 2 2 z y e y x z + = + 决 定， 求 y x z 2 。 解 ：方 程两 边 对 x 求 偏导 得： x z z x z y e x z + = 2 2 即 ， x z z y e x z + = ) 2 ( 2 （ ） z y e x x z z 2 2 + = 两 边对 y 求 偏导 得： y z z y z y e e y z z + + = 2 2 z y e e y y z z z 2 2 +
