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1、1平面向量学案 03 平面向量的数量积 一、考纲要求与命题规律 1平面向量的数量积是向量的非线性运算，该考点涉及的知识点较多，如向量的模、两向量的 夹角等； 2本节知识点是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明向量的位置关系； 3考查的题型主要有两种：一是以填空题的形式考查向量的运算及性质；二是与三角函数、解 析几何等知识，以解答题的形式出现，重在考查向量的工具性作用。 三、要点回顾 1.向量 与 的夹角： . a r b r 2. 与 的数量积： . a r b r 3.向量的数量积的性质: (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) . 4.数量积的运算律: . 5.
2、平面向量的数量积的坐标表示 (1)若 , ,则 = ； 1 1 ( , ) a x y r 2 2 ( , ) b x y r a b r r (2)若 ，则 = ， ； ( , ) a x y r 2 2 | | a a a a r r r r | | a r (3)若 , ,则 . 1 1 ( , ) a x y r 2 2 ( , ) b x y r a b r r 6. , ,则： . 1 1 ( , ) a x y r 2 2 ( , ) b x y r | | | | | | a b a b a b r r r r r r 四、课前练习： 1、已知向量 满足| |=1，| |=4，
3、且 =2，则 与 的夹角为（ ） b a, a b b a a r b rA B C D 0 30 o 45 0 60 90 o 2、 （2006年四川卷）如图，已知正六边形 ，下列向量的数量积中最大的是（ ） 1 2 3 4 5 6 PPPPPP （A） （B） 1 2 1 3 , PP PP uuuu r uuu u r 1 2 1 4 , PP PP uuuu r uuuu r （C） （D） 1 2 1 5 , PP PP uuuu r uuuu r 1 2 1 6 , PP PP uuuu r uuuu r2 3、已知平面上三点A、B、C 满足 ， ， ，则 的 3 AB uuu r
4、 4 BC uuu r 5 CA uuu r AB BC BC CA CA AB uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 值等于（ ） .A25 B24 C25 D24 4、已知平面向量 ，且 ，则实数 的值等于（ ）. (2 1,3), (2, ) a m b m r r a r b r mA 或 B C 或 D 2 3 2 3 2 2 3 2 2 7 5、 （2006年湖北卷）已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 = 1 , 3 a b x 3 b a b （ ）A. B. C. D. 2 1 , 2 3 2 3 , 2 1 4 3 3 , 4
5、1 0 , 1 6、若 =（ ， ） ， =（ ， ） ， ，且 ，则有（ ） a 1 x 1 y b 2 x 2 y a bA、 + =0 B、 =0 1 x 2 y 2 x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 y C、 + =0 D、 =0， 1 x 2 x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 y 2 y 7.（2007湛江一模文）已知向量（ ） ，向量，且，则的坐标可以为 b a, ( ) A. （ ） B. （ ） C. （ ） D.（ ） b a , b a, a b , a b , 8若平面向量a=(1 , 2)与 的夹角是 180，且| |=3 ，则 等于（ ）. b b 5 b
6、 A. (3 , 6) B. (3 , 6) C. (6 , 3) D. ( 6 , 3) 9、 （2007广州一模文、理）已知向量 ，若 ，则 ( ) ,1 m a 2 a m A1 B. C. D. 3 1 3 10、设向量 满足 ， ，则 =（ ） , , a b c r r r 0 c b a 2 , 1 , b a b a 2 c A1 B2 C4 D、 5 11、已知非零向量 ，若 与 互相垂直，则 =（ ） b a, b a 2 b a 2 b a A、 B、4 C、 D、2 4 1 2 1 12、 （2007深圳一模文）已知 与 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 ( ) a
7、r b r 60 3 a b r r A B C D4 7 10 13 13、(2007 韶关二模文) 若 ,且 ,则 与 的夹角为 ( ) 2, 1 a b r r 2 3 a b r r a r b r3 . . . . A 30 o B 0 60 C 0 120 D 150 o 14、已知向量 满足 ，则 的夹角等于 （ ） , , a b c r r r | | 1,| | 2, , a b c a b c a uu r r r r r r r a b r r 与A B C D 0 120 0 60 0 30 90 o 15、非零向量 、 满足 ， ，则 与 的夹角是（ ）. a r
8、b r ( ) a b a r u u r r (4 ) a b b r u u r r a r b r A B C D 6 3 2 3 5 6 16、 设向量 和 的长度分别为 4和 3，夹角为 60，则| + |的值为（ ）. a r b r a r b rA. 37 B. 13 C. D. 37 13 17、 给定两个向量 的值等于（ ）. (3,4), (2,1), ( ) ( ), a b a xb a b x r r r r r r 若则A3 B C3 D 3 2 3 2 18、已知向量 ，若 与 垂直，则 （ ） (1 ) ( 1 ) n n ， a b 2 a b b a A
9、B C D4 1 2 2 五、例题分析： 已知向量 ， ， ，设 M 是直线 OP 上一点(O 为坐标原点)求 (2,1) OP uuu r (1,7) OA uuu r (5,1) OB uuu r ，使 得最小值 OM uuuu r MA MB uuu r uuur4 课后练习： 20、 已知单位向量i 和j 的夹角为 60，那么 (2j i)i= . 21、若 ， ，则 与 的夹角的大小为 . | | 3, | | 4 a b r r | | 5 a b r r a r b r 22、若向量 的夹角为 ，| |= ，| |=4，则| |= . b a, o 150 a 3 b b a r
10、 r 2 23 长为 4的向量 与单位向量 的夹角为 ，则| + |= . a r e r 120 a r e r 24、 （2006年上海春卷）若向量 的夹角为 ， ，则 . b a r r 、 o 150 4 , 3 b a r r b a r r 2 25、已知向量 与 都是单位向量，它们的夹角为 120，且 ，则实数 的值是 a u u r b ur 3 ka b u u r ur k 26、 （广东10）若向量 、 满足 的夹角为 120，则 . a b b a b a 与 , 1 b a b a 27、 （上海文 6）若向量 的夹角为 ， ，则 = a b r r ， o 60 1
11、 b a ) ( b a a 28、 （2006年天津卷）设向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 . a r b r ) 3 , 3 ( a r ) 1 , 1 ( 2 a b r r cos 29、若 ， ，且 的夹角为钝角，则 的取值范围是 . ) 2 , ( a ) 5 , 3 ( b b a, 30、已知向量 满足： ，则 的值是_ _ _ , a b r r 1, 2 , 2 a b a b r r r r a b r r 31、已知向量 若向量 ，则实数 的值是2 4 11 ， a= b= ( ) b a+ b 32、若向量 =（2，1）围绕原点按逆时针方向旋转 得到向量 ，则 的坐标是 . a 2 b b 33、已知向量 ，直线l 过点 ，且与向量 垂直，则直线l 的一方 1 (6,2), ( 4, ) 2 a b r r 3 1 A （，） 2 a b r uu r 程是 . 34、在平面直角坐标系中，正方形 的对角线 的两端点分别为 ， ，则 OABC OB (0 0) O ， (11) B ， = AC AB
