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1、 中小学 1对 1课外辅导专 家龙文教育无锡训导部 1 学习内容与过程重难点归纳头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头头 头1头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数 解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头2头
2、 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头当直线与圆锥曲线相交时头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头头 头涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转
3、化，往往就能事半功倍头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况， 从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点 对于抛物线来说，平 行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直 线与双曲线只有一个交点，但并不相切 直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成 的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。 解决直线和圆锥曲线的位置关系的解
4、题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存， （2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程 （4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换 （6）同点纵横坐标变换 （7）x,y，k(斜率)的取值范围 （8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等 运用的知识： 1、中点坐标公式： ，其中 是点 的中点坐标。 1 2 1 2 ,y 2 2 x x y y x , x y 1 1 2 2 ( , ) ( , ) A x y B x y ， 2、弦长公式：若点 在直线 上， 1 1 2 2 ( , ) ( , ) A x y B x y ， ( 0) y kx
5、b k 则 ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 1 1 2 2 y kx b y kx b ， 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (1 )( ) AB x x y y x x kx kx k x x 2 2 1 2 1 2 (1 )( ) 4 k x x x x 或者 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (1 )( ) AB x x y y x x y y y y k k k 。 2 1 2 1 2 2 1 (1 )( ) 4 y y y y k
6、3、两条直线 垂直：则 1 1 1 2 2 2 : , : l y k x b l y k x b 1 2 1 kk 中小学 1对 1课外辅导专 家龙文教育无锡训导部 2 两条直线垂直，则直线所在的向量 1 2 0 v v r r g 4、韦达定理：若一元二次方程 有两个不同的根 ，则 2 0( 0) ax bx c a 1 2 , x x 。 1 2 1 2 , b c x x x x a a 题型二：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是： 垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式） 。 例题2、过点 T(-
7、1,0)作直线 与曲线 N ： 交于 A、B 两点，在 x轴上是否存在一点 E( ,0)，使得 l 2 y x 0 x 是等边三角形，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由。 ABE 0 x 分析：过点 T(-1,0)的直线和曲线 N ： 相交 A、B 两点，则直线的斜率存在且不等于 0，可以设直线的 2 y x 方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和 中点，写出垂直平分线的方程，得出 E 点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的 倍。运用弦长 3 2 公式求弦长。 练习1：已知椭圆 ) 0 ( 1 : 2 2 2 2 b a b y
8、a x C 过点 ) 2 3 , 1 ( ，且离心率 2 1 e 。（）求椭圆方程；（）若直线 ) 0 ( : k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点 ) 0 , 8 1 ( G ，求k 的取值范围。 分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到 的关系式，再根据“过点 ) 2 3 , 1 ( ”得到 的第2个关系 , a b , a b 中小学 1对 1课外辅导专 家龙文教育无锡训导部 3 式，解方程组，就可以解出 的值，确定椭圆方程。 , a b 第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出 的不等式，再根据韦达定 , k
9、m 理，得出弦MN 的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点 ) 0 , 8 1 ( G ，得 垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得 的等式，用k 表示m 再代入不等式， , k m 就可以求出k 的取值范围。 支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为： ，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大 y kx m 解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直 线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这
10、两大解题技巧。 题型三：动弦过定点的问题 圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦 有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画 板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几 中小学 1对 1课外辅导专 家龙文教育无锡训导部 4 何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高 考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就 通过几个考题领略一下其风采。 例题4、已知椭圆 C： 的离心率为 ，且在 x轴上的顶点分别为 A 1 (-2,0),A 2 (2,0)。 2 2
11、 2 2 1( 0) x y a b a b 3 2 （I）求椭圆的方程； （II）若直线 与 x轴交于点 T,点 P 为直线 上异于点 T 的任一点，直线 PA 1 ,PA 2 分别与椭圆交 : ( 2) l x t t l 于 M、N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点 A 1 、A 2 的坐标都知道，可以设直线 PA 1 、PA 2 的方程， 直线 PA 1 和椭圆交点是 A 1 (-2,0)和 M，通过韦达定理，可以求出点 M 的坐标，同理可以求出点 N 的坐标。动 点 P 在直线 上，相当于知道了点 P 的横坐标
12、了，由直线 PA 1 、PA 2 的方程可以求出 P 点的纵坐 : ( 2) l x t t 标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的 M、N 点的坐标，求出直线 MN 的方程，将交点的坐标代入， 如果解出的 t2，就可以了，否则就不存在。 、 方法总结：本题由点A 1 (-2,0)的横坐标2是方程 的一个根，结合韦达定 2 2 2 1 2 1 (1 4 ) 16 16 4 0 k x k x k 理运用同类坐标变换，得到点M的横坐标： ， 2 1 1 2 1 2 8 1 4 k x k 再利用直线A 1 M的方程通过同点的坐标变换，得点M的纵坐标： ； 1 1 2 1 4 1 4 k y k 其实由 消 y整理得 ，得到 ，即 2 2 2 ( 2) 4 4 y k x x y 2 2 2 2 2 2 (1 4 ) 16 16 4 0 k x k x k 2 2 2 2 2 16 4 2 1 4 k x k
