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1、多元函数微分学的几何应用 内容要点： 一，求空间曲线的切线与法平面 设空间曲线为 则过曲线上点 的切线方程为 ), ( ), ( ), ( t z z t y y t x x ) , , ( 0 0 0 z y x) ( ) ( ) ( 0 / 0 0 / 0 0 / 0 t z z z t y y y t x x x 法平面方程为0 ) )( ( ) )( ( ) )( ( 0 0 / 0 0 / 0 0 / z z t z y y t y x x t x 1 求曲线 在点 处的切线方程与法平面 2 sin 4 , cos 1 , sin t z t y t t x ) 2 2 , 1 ,
2、1 2 ( 方程. 2 求曲线 在 处的切线方程与法平面方程. 2 , 1 , 1 t z t t y t t x 1 t 3 求曲线 在 处的切线方程与法平面方程. bt z t a y t a x , sin , cos 4 t 二， 求曲面的切平面与法线方程 设曲面方程为 ，则过曲面上点 的切平面方程为 0 ) , , ( z y x F ) , , ( 0 0 0 z y x0 ) )( , , ( ) )( , , ( ) )( , , ( 0 0 0 0 / 0 0 0 0 / 0 0 0 0 / z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x
3、法线方程为= = ) , , ( 0 0 0 / 0 z y x F x x x ) , , ( 0 0 0 / 0 z y x F y y y ) , , ( 0 0 0 / 0 z y x F z z z 例题 例 1 求曲线 在点 处的切线方程与法平面方程. 3 2 t x t x t x 1 , 1 , 1 解：因为 ，而点 对应的参数值 ，所以过该点切线的方 2 / / / 3 , 2 , 1 t z t y x t t t 1 , 1 , 1 1 t 向矢量为 3 , 2 , 1 l r切线方程为3 1 2 1 1 1 z y x法平面方程为 0 1 3 1 2 1 z y x即
4、. 6 3 2 z y x 例 2 求旋转抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程. 1 2 2 y x z 4 , 1 , 2 解：令 , z y x z y x F 1 ) , , ( 2 2 1 , 2 , 2 / / / z y x F y F x F 于是，在点 处的切平面法矢量为 4 , 1 , 2 1 , 2 , 4 n r 切平面方程为 0 4 1 2 2 4 z y x 即 6 2 4 z y x 法线方程为1 4 2 1 4 2 z y x 练习题 1, 求曲线 在点 处的切线与法平面方程. 2 sin 4 , cos 1 , sin t z t y t t x 2 2 ,
5、1 , 1 2 2, 求曲线 在 处的切线与法平面方程. 2 , 1 , 1 t z t t y t t x 1 t 3, 求曲面 在点(2,1,0) 处的切平面方程和法线方程. 3 xy z e z 4, 求曲面 在点 处的切平面方程和法线方程. 0 5 8 2 z x xy x ) 1 , 3 , 2 ( 5, 求曲面 在点 处的切平面方程和法线方程. x y z arctan ) 4 , 1 , 1 ( 答案：1, 4 4 2 ; 2 2 2 1 1 1 1 2 z y x z y x2, 1 16 8 2 ; 8 1 4 2 1 2 1 z y x z y x3, 0 1 2 1 1
6、2 ; 0 4 2 z y x y x4, 1 1 2 3 1 2 ; 0 5 2 z y x z y x 5, 2 4 1 1 1 1 ; 0 2 2 z y x x y x二元函数极值 内容要点： 一， 求函数 极值的一般方法： ) , ( y x f y 1 先求驻点 解下列方程组可得驻点 0 ) , ( 0 ) , ( / / y x f y x f y x 2 判断驻点 是否为极值点，是极大点还是极小点 ) , ( 0 0 y x 先求出 ) , ( ), , ( ), , ( 0 0 / 0 0 / 0 0 / y x f C y x f B y x f A yy xy xx 再判
7、断 (1) 若 ,则在 处有极值.且 0 2 B AC ) , ( 0 0 y x极大； 极小. 0 A 0 A(2) 若 ,则在 处无极值. 0 2 B AC ) , ( 0 0 y x(3) 若 ,则不定. 0 2 B AC 对于应用问题，若有唯一驻点，则在该驻点处的函数值就是函数的最大（小）值. 二， 用拉格朗日乘数求极值 若要求函数 在满足约束条件 下的极值点，可用拉格朗日乘数法： ) , ( y x f z 0 ) , ( y x 令 ) , ( ) , ( ) , ( y x y x f y x L 解方程组 0 ) , ( 0 ) , ( 0 ) , ( / / y x y x
8、L y x L y x 解得的解便是极值点. 三，求应用问题中的最大值与最小值 主要步骤： 1 根据问题的目的写出目标函数 ); , ( y x f z 2 根据问题的条件写出约束条件 ; 0 ) , ( y x 3 利用拉格朗日乘数法，求得唯一极值就是最值. 例题 例 1 求函数 的极值. x y x y x y x f 9 3 3 ) , ( 2 2 3 3 解：解方程组 0 6 3 ) , ( 0 9 6 3 ) , ( 2 / 2 / y y y x f x x y x f y x 解得驻点为 2 , 3 , 0 , 3 , 2 , 1 , 0 , 1 再求二阶导数 6 6 ) , (
9、 , 0 ) , ( , 6 6 ) , ( / / / y y x f y x f x y x f yy xy xx 于是，在(1,0)点处， ,故函 0 12 , 0 72 6 , 0 , 12 2 A AC B C B A 数在点处有极小值 . 5 ) 0 , 1 ( f 在(1,2)点处， ,故函数在点(1,0) 处没有极 0 72 6 , 0 , 12 2 AC B C B A 值. 在 点处， ,故函数在点 处 0 , 3 , 0 72 6 , 0 , 12 2 AC B C B A 0 , 3 没有极值. 在 点处， ,故函 2 , 3 0 12 , 0 72 6 , 0 , 1
10、2 2 A AC B C B A 数在点 处有极大值 2 , 3 . 31 ) 2 , 3 ( f 例 2 某厂要用铁板做成一个体积为 2 的有盖长方形水箱，问当长、宽、高取怎样 3 m 尺寸时，可使用料最省. 解：设水箱的长、宽、高分别为 ,由题意可知 ,即 z y x , , 2 xyz . 2 xy z 所用材料，即水箱的表面积 x y xy xy y xy x xy S 2 2 2 2 2 2 解方程组 此时，高 3 2 / 2 / 2 0 2 2 0 2 2 y x y x S x y S y x 3 3 3 2 2 2 2 2 xy z可见，有唯一驻点( ). 故当水箱长、宽、高均
11、为 时，用料最省. 3 3 2 , 2 3 2 例 3 用拉格朗日乘数法解例 2 中的问题. 解：设水箱的长、宽、高分别为 . z y x , ,目标函数为水箱表面积，即 , yz xz xy z y x f S 2 ) , , ( 约束条件为0 2 ) , , ( xyz z y x 于是， 令 = ) , , ( ) , , ( z y x z y x f F 2 2 xyz yz xz xy 解方程组 3 / / / / 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 0 2 0 2 0 2 0 2 z y x xyz x y x z y z xyz F xy y x F xz z x F
12、yz z y F z y x 可见与例 2 结果相同. 练习题 1, 求函数 的极值 2 2 ) ( 4 ) , ( y x y x y x f 2, 求函数 的极值 ) ( ) , ( y x a xy y x f 3, 求函数 的极值 1 ) , ( 2 2 y x y xy x y x f 4, 求函数 的极值 ) 2 ( ) , ( 2 2 y y x e y x f x 5, 求函数 在条件 下的极值. xy z 1 y x 6,求函数 在条件 下的极值 2 2 y x z 1 b y a x 7, 要造一个容积等于定数 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面 k 积最小. 8, 斜边长为 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形的直角边的边长. l 9, 把正数 分成三个正数之和，使它们乘积最大. a 10, 在平面 上求一点，使它与点 和点 的距离平方和为最小. 0 2 3 z x ) 1 , 1 , 1 ( A ) 4 , 3 , 2 ( B 11, 求点 到曲面 的最短距离. ) 0 , 1 , 1 ( ) 0 ( 2 2 2 z y x z
