《AAA试题2012数学模拟及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《AAA试题2012数学模拟及答案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2012AAA 数学模拟试题 一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。 1已知 P 为三角形 ABC 内部任一点（不包括边界） ，且满足 ， ( )( 2 ) 0 PB PA PB PA PC u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 则ABC 一定为( ) A直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形 2圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2的等边三角形，O 为底面中心，M 为 SO 的中点，动点 P 在圆锥底面 内（包括圆周） 。若 AMMP，则 P 点形成的轨迹的长度为_
2、A. B. C. 3 D. 7 7 2 3 2 3.设有一个体积为 54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为 _ A.1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为 0n1 中的任意一个数。如果初始时显示 2011，反复按这个按键使得最终显示 0，那么这个过程中， 9、99、999都出现的概率是 A . B. C. D. 1 10 4 1 10 5 1 10 6 1 10 7 5已知 ，直线 与 , R 1 sin sin sin cos x y 1 cos sin cos cos
3、 x y 的交点在直线 上，则 。 y x cos sin c in s s o A.0 B.1. C-1 D.2 6设 ，则 。 lg lg lg 1 1 1 ( ) 1 2 1 4 1 8 x x x f x 1 ( ) ( ) _ f x f x A 1 B 2 C 3 D 4 7 已知 ，则 1 cos 4 5 4 4 sin cos A 4/5 B 3/5 C1 D -4/5 8顶点在同一球面上的正四棱柱 中， ，则 两点间 ABCD ABCD 1 2 AB AA ， A C ， 的球面距离为（ ） A B C D 2 4 2 2 9. 在平面直角坐标系内，将适合 且使关于t 的方程
4、 , 3, 3, x y x y 没有实数根的点 所成的集合记为N，则由点集N 所成区 3 3 4 2 1 ( ) (3 ) 0 x y t x y t x y ( , ) x y 域的面积为 。 A 81/4 B 83/4 C 81/5 D 83/5 10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为F 1 、F 2 ，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点 2 2 1 4 3 x y P、Q，则F 1 PQ 内切圆面积的最大值是 A B C D 25 16 9 25 16 25 9 16 二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （一） 设 若 时， ，且 在区间 上的最 2 ( ) ( ,
5、 ) f x x bx c b c R 2 x ( ) 0 f x ( ) f x 2,3 大值为 1，求 的最大值和最小值 2 2 b c （二） 、已知椭圆 C： （ ） ，其离心率为 ，两准线之间的距离为 。 2 2 2 2 1 x y a b 0 a b 4 5 25 2 （1）求 之值； , a b （2）设点 A 坐标为(6, 0)，B 为椭圆 C 上的动点，以 A 为直角顶点，作等腰直角ABP （字母 A，B，P 按顺时针方向排列） ，求 P 点的轨迹方程。 三.（本小题满分 25分）已知数列a n 中的相邻两项 a 2k-1 ，a 2k 是关于 x的方程 x 2 （3k+2 k
6、 ）x+3k2k=0 的两个根. （1）求数列a n 的前 2n项和 S 2n . （2）记 f（n）= 2 1 （ n n sin | sin | +3） ，T n = 2 1 ) 2 ( 1 - a a f ） （ + 4 3 ) 3 ( 1 - a a f ） （ + 6 5 ) 4 ( 1 - a a f ） （ + n n n f a a 2 1 2 ) 1 ( 1 - ） （ ，求证： 6 1 T n 24 5 （nN + ） 四、已知椭圆 过定点A（1，0） ，且焦点在x 轴上，椭圆与曲线 的交点为 1 2 2 2 2 b y a x y x B、C。现有以A 为焦点，过B，C
7、且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0） ，当椭圆的离心率满足 时，求实数m 的取值范围。 1 3 2 2 e 五、已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 ，某植物研究所进行该种子的发芽 3 1 实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功 的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。若该研究所共进行四次实验，设 表示四次实验 结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值（1）求随机变量 的数学期望 E ； （2）记“关于x 的不等式 的解集是实数集R”为事件A，求事件A 发生的概率P（A） 。 0 1 2 x x 2012AA
8、A 数学模拟试题 注：此系转摘整理的参考答案 1 解：因为 ，所以已知条件可改写为 , 2 PB PA AB PB PA PC CB CA u u u r u u u r u u u r u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D。 ( ) 0 AB CB CA u u u r u u u r u u u r 2 解：建立空间直角坐标系。设 A(0,-1,0), B(0,1,0), , ，P(x,y,0).于是有 (0,0, ) 3 S (0,0, ) 3 2 M 由于 AMMP，所以 ，即 ，此 (0,1, )
9、, ( , , ). 2 3 2 3 AM MP x y u u u u r u u u r (0,1, ) 3 3 ( , , ) 0 2 2 x y 3 4 y 为 P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为 。 因此 选 B。 2 3 7 1 ( ) 4 2 2 3. B 4. 答： 6 1 10 若计算器上显示n的时候按下按键，因此时共有 1n1 共n种选择，所以产生给定的数m 的概率是 。如果计算器上的数在变化过程中除了 2011，999，99，9和 0以外，还产生了 ，则概率 1 n 1 2 , , , n a a a L 为 ，所以所求概率为 1 2 1 1 1 1 1 1 1
10、 2011 999 99 9 n a a a L 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2011 999 99 9 n p a a a L1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2011 2010 2009 1000 999 998 L L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 99 98 10 9 8 L L 注意到 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2011 2010 2009 1000 999 998 L L 两式相除即得 。 6 1 1 1 1 1000 100 10 10 p 5解：由已知可知，可设两直线的交点为 ，且 为方程 ， 0 0 ( ,
11、 ) x x , in s s co 0 0 1 sin cos x x t t 的两个根，即为方程 2 0 sin c (cos ) sin os (cos ) i 0 s n t t x 的两个根。因此 ，即 0。 cos (sin sin cos ) cos sin c in s s o 6解： 。 lg lg lg lg lg lg 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 3 1 2 1 4 1 8 1 2 1 4 1 8 x x x x x x f x f x 7 4 5 8 B 9. 答： 81 5 令 ，原方程化为 2 u t 3 3 2 1 ( ) (3 ) 0. x y
12、u x y u x y 2 3 3 2 2 1 (3 ) 4( ) 5 2 3 (5 3 )( ). x y x y x y x xy y x y x y 所给方程没有实根等价于方程无实根或有实根但均为负根，所以， 或 , 3, 3, (5 3 )( ) 0 x y x y x y x y , 3, 3, (5 3 )( ) 0, 3 0. x y x y x y x y x y 点集N 所成区域为图中阴影部分，其面积为 1 24 1 81 3 6 3 . 2 5 2 5 ABO BCO S S S 10. 答： 9 16 因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的 2倍，且F 1 PQ 的周长是定值 8，所以只需求出 F 1 PQ 面积的最大值。设直线 l 方程为 ，与椭圆方程联立得 ，设 1 x my 2 2 3 4 6 9 0 m y my ， ，则 ， ，于是 1 1 , P x y 2 2 , Q x y 1 2 2 6 3 4 m y y m 1 2 2 9 3 4 y y m 。 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 4 12 2 3 4 FPQ m S FF y y y y y y m
