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1、2.4 极限的运算法则,1.无穷小运算法则,2.极限的运算法则,定理:在同一过程中,两个无穷小的和(或差)仍是无穷小,证明,设,1. 无穷小的运算法则,无穷多个无穷小的和（或差）未必是无穷小.,推论 在同一过程中,有限个无穷小的和（或差） 仍是无穷小,注意,定理 局部有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证明,推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 两个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,例,有限个无穷小的乘积也是无穷小.,定理,2. 极限的运算法则,证明,(自学),在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？,解,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：
2、,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,想一想,不一定！,想一想,应用四则运算法则时,要注意条件:,参加运算的是有限个函数,它们的极限都,商的极限要求分母的极限不为0.,不要随便参加运算,因为,不是数,它是,表示函数的一种性态.,存在,注意,有极限+有极限=有极限；,无极限+有极限=无极限；,无极限+无极限=不一定,推论1,常数因子可以提到极限号外面.,推论2,例,解,例,小 结,解,例,(消去零因子法),解,例,解,练一练,例,解,解,练一练,例,解,原式=,定理,证明,2. 复合函数的极限运算法则,(自学）,意义:(用变量代换求复合函数的极限）,例,例,解1,原式=,解2,原式=,解,商的
3、法则不能用!,由无穷小与无穷大的关系,得,例,商的法则能用!,不定,注意,两个正 无穷大之和仍为正 无穷大;,易证明,例,不定,不定,不定,(负),(负),解,原式=,例,例,解,(无穷小因子分出法),小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,解,练一练,解,分子有理化,练一练,试确定常数,解,使,练一练,例,分析,解,例,解,一般的：,小结,1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法;,a.多项式与有理函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.f.变量代换求复合函数的极限,作业,一、填空题:,练一练,二、求下列各极限:,二、,
